Andragradspolynom med minpunkten (1,3)

symmetrilinjen ligger mitt emellan polynomets nollställen

Välj två nollställen på vart sida om x = 1, exvis 0 och 2

Ett polyonom kan då vara

k*x*(x-2)

Återstår att bestämma k

Notera att det finns oändligt många polynom som uppfyller kraven

Tillägg: 7 feb 2022 18:59

Här gjorde jag en groda, i och med att det sökta polynomet saknar reella nollställen måste metoden modifieras lite grann.

Symmetrilinjen ligger mellan de två punkter jag ansatte men eftersom polynomet inte3 får skära x-axeln måste jag lägga till en term

p(x) = k*x(x-2) + m, 

k måste vara positiv och kan väljas fritt exvis 1.

Sätter vi in x = 1 och söker ett värde på m så att p(1) = 3 får vi

3 = 1-2+m  => m = 4

ett polynom p(x) som uppfyller kraven kan alltså vara x² -2x +4

Ture skrev:

symmetrilinjen ligger mitt emellan polynomets nollställen

Välj två nollställen på vart sida om x = 1, exvis 0 och 2

Ett polyonom kan då vara

k*x*(x-2)

Återstår att bestämma k

Notera att det finns oändligt många polynom som uppfyller kraven

Fattar inte riktigt helt hur man kommer fram till att man kan ställa upp det på det viset ?

Nu är det ju så att Tures metod fungerar i många fall men inte i detta då en funktion med minimipunkt i (1,3) saknar nollställen.

Om vi tänker oss en funktion med minimipunkt då x = 1 så är den enklaste sådana om vi har en funktion som står på x-axeln. En sådan funktion blir en kvadrat i faktoriserad form i detta fall, enklast (x-1)^2.

Denna har minimipunkten  (1,0). För att få detta all ligga i (1,3) adderar vi 3 till funktionen och flyttar då hela parabeln 3 steg uppåt. Vi får alltså (x+1)^2 +3.

Vi skulle också kunna definiera, som Ture säger många fler genom att sätta en faktor k framför kvadraten dvs f(x) = k(x-1)^2+3

AndersW skrev:

Nu är det ju så att Tures metod fungerar i många fall men inte i detta då en funktion med minimipunkt i (1,3) saknar nollställen.

Om vi tänker oss en funktion med minimipunkt då x = 1 så är den enklaste sådana om vi har en funktion som står på x-axeln. En sådan funktion blir en kvadrat i faktoriserad form i detta fall, enklast (x-1)^2.

Denna har minimipunkten  (1,0). För att få detta all ligga i (1,3) adderar vi 3 till funktionen och flyttar då hela parabeln 3 steg uppåt. Vi får alltså (x+1)^2 +3.

Vi skulle också kunna definiera, som Ture säger många fler genom att sätta en faktor k framför kvadraten dvs f(x) = k(x-1)^2+3

Anders W har dessvärre helt rätt och jag har tänkt fel eftersom den sökta funktionen saknar reella nollställen.

AndersW skrev:

Nu är det ju så att Tures metod fungerar i många fall men inte i detta då en funktion med minimipunkt i (1,3) saknar nollställen.

Om vi tänker oss en funktion med minimipunkt då x = 1 så är den enklaste sådana om vi har en funktion som står på x-axeln. En sådan funktion blir en kvadrat i faktoriserad form i detta fall, enklast (x-1)^2.

Denna har minimipunkten  (1,0). För att få detta all ligga i (1,3) adderar vi 3 till funktionen och flyttar då hela parabeln 3 steg uppåt. Vi får alltså (x+1)^2 +3.

Vi skulle också kunna definiera, som Ture säger många fler genom att sätta en faktor k framför kvadraten dvs f(x) = k(x-1)^2+3

Hur vet du att den saknar reella nollställen? 

För att få svaret ${\left(x-1\right)}^2+3$ vad utgår du ifrån då? Någon formel som är hjälpsam? Får inte ihop det i huvudet med $p\left(x\right)=k\left(x-a\right)\left(x-b\right)$ regeln då denna utgår från att jag har nollställen. Men den enda informationen jag får i frågan är vad minpunkten är.

Såg nu att Ture anger ”mallen” $p\left(x\right)=k{\left(x-a\right)}^2+m$ men om man inte har kunnat denna sen innan. Är det inte lätt att se de det sambandet 

Eftersom polynomets minsta värde är 3 (för x = 1) kan y aldrig bli 0.

Vi vet ju att symmetrilinjen ligger symmetriskt i mitten av parabeln (rita en typisk andragradare med sin symmetrilinje så blir det lättare att inse) och kan därför ansätta vilka x-värden som helst som ligger lika långt till vänster som till höger om symmetrilinjen. Att Anders valde 1 är säkert för att det är lätt att räkna, men det går lika bra med vilket tal som helst, exvis 17. en punkt 17 steg till höger är alltså 18 och en punkt 17 steg till vänster är då x = -16

(x-18)(x+16)+m ger x² -2x + 288 +m

för att få ett minimum = 3 för x = 1,

1-2+288 +m = 3 => m =  -284

Alltså

x²-2x + 4 uppfyller också kravet

Jag valde (x-1)^2 eftersom detta är en parabel som har symmetrilinjen 1 och minimipunkten (1,0). Det vet jag eftersom alla andragradsfunktioner som kan skrivas som en kvadrat har en dubbelrot i extrempunkten och därmed tangerar x-axeln i extrempunkten.

Jag sätter alltså upp p(x) = k (x-1)(x-1) = (x-1)^2 = k(x^2 -2x +1)

Denna funktion har som sagts extrempunkten (1,0). För att den skall få extrempunkten (1,3) flyttar jag alla punkter på parabeln 3 steg uppåt genom att addera 3 till den funktion jag har. jag får då f(x) = k(x^2-2x+1) +3. Om vi då väljer k= 1 får vi x^2 -2x +4 som Ture föreslår.