Andragradskurvor ekvation (igen...)

Första parabeln f(x) är rätt 

Andra parabeln har en dubbelrot som sagt och den kan skrivas g(x) = k*(x-d)^2

(jag använder d för dubbelroten eftersom både b och c ju redan har bestämda värden (b=0 och c=25) så de är olämpliga att använda)

Du har en gemensam punkt i (10, 10) och samma derivata i just den punkten. Det kan vi skriva som:

f(10) = g(10) = 10

f'(10) = g'(10)

Eftersom f(x) = -0,15x^2 + 25 så är f'(x) = 2*(-0,15)*x

f'(10) är alltså lika med 2*(-0,15)*10 = -3

Jag förstår inte hur du sedan har fått fram att k = -3?

k måste vara positiv eftersom g(x) är en "glad mun".

Ta fram ett uttryck för g'(x) och skriv upp de två ekvationerna

g(10) = 10 och

g'(10) = -3

Du har då två ekvationer och två obekanta. Visa hur du löser ut de obekanta k och d.

Yngve skrev :

 

Jag förstår inte hur du sedan har fått fram att k = -3?

k måste vara positiv eftersom g(x) är en "glad mun".

 

 Hej Yngve,

Jag menar att för f'(10) och g'(10) är k=-3.

Daja skrev :

Yngve skrev :

 

Jag förstår inte hur du sedan har fått fram att k = -3?

k måste vara positiv eftersom g(x) är en "glad mun".

 

 Hej Yngve,

Jag menar att för f'(10) och g'(10) är k=-3.

Ja det stämmer. Förlåt, jag kanske feltolkade dig när du skrev "... har vi en gemmensam punkt P(10;10) och kan skriva=−3(10−c)2=10".

 Hursomhelst, du har två ekvationer (g(10) = 10 och g'(10) = -3) och två obekanta (k och d).

Kan du skriva ut ekvationerna här så vi ser att du har förstått?

Med 2 ekvationer menar du

g(10)=k*(10-d)^2

g'(10)=2k(10-d)=-3?

Isf kommer jag fram till samma

g(10)=-310+60d-d^2, och

g'(10)=2k(10-d)=20k-2kd

 Om båda =0 har vi 20k-2kd=-310+60d-d^2

-310+60d-d^2-20k+2kd ??

Jag kan inte lösa det. Och Wolfram Alpha ger mig något lika konstigt som vacker... Nämligen en orange bark. https://www.wolframalpha.com/input/?i=-310%2B60d-d%5E2-20k%2B2kd

Daja skrev :

Med 2 ekvationer menar du

g(10)=k*(10-d)^2

g'(10)=2k(10-d)=-3?

Isf kommer jag fram till samma

g(10)=-310+60d-d^2, och

g'(10)=2k(10-d)=20k-2kd

 Om båda =0 har vi 20k-2kd=-310+60d-d^2

-310+60d-d^2-20k+2kd ??

Jag kan inte lösa det. Och Wolfram Alpha ger mig något lika konstigt som vacker... Nämligen en orange bark. https://www.wolframalpha.com/input/?i=-310%2B60d-d%5E2-20k%2B2kd

 Nej var får du -310 ifrån? Och varför sätter du att g(10) = g'(10)? Det stämmer ju inte.

Dina ekvationer är

A) g(10) = 10, vilket är samma sak som $k·(10-d{)}^2 = 10$

B) g'(10) = -3, vilket är samma sak som $2k·(10 - d) = -3$

Från ekvation B kan vi få att $k = -\frac{3}{2·(10-d)}$

Sätt in det i ekvation A och förenkla.

Yngve skrev :

Daja skrev :

Med 2 ekvationer menar du

g(10)=k*(10-d)^2

g'(10)=2k(10-d)=-3?

Isf kommer jag fram till samma

g(10)=-310+60d-d^2, och

g'(10)=2k(10-d)=20k-2kd

 Om båda =0 har vi 20k-2kd=-310+60d-d^2

-310+60d-d^2-20k+2kd ??

Jag kan inte lösa det. Och Wolfram Alpha ger mig något lika konstigt som vacker... Nämligen en orange bark. https://www.wolframalpha.com/input/?i=-310%2B60d-d%5E2-20k%2B2kd

 Nej var får du -310 ifrån? Och varför sätter du att både g(10) och g'(10) ska vara lika med 0? Det stämmer ju inte.

Dina ekvationer är

A) g(10) = 10, vilket är samma sak som $k·(10-d{)}^2 = 10$

B) g'(10) = -3, vilket är samma sak som $2k·(10 - d) = -3$

Från ekvation B kan vi få att $k = -\frac{3}{2·(10-d)}$

Sätt in det i ekvation A och förenkla.

Hej!

Den första parabeln har två stycken rötter som är symmetriskt placerade kring y-axeln; kalla dem $r$ och $-r$, där $r$ är positiv. Det betyder att parabelns ekvation kan skrivas

    $f(x) = a(x-r)(x+r) = a(x^2-r^2)$,

där koefficienten $a$ är negativ.

Den första parabeln har sitt största värde (25) då $x = 0$. Det medför dels att $f(0) = 25$ men också att derivatan $f'(0) = 0$, det vill säga $ar^2 = -25$.

Den andra parabeln har en enda rot, som är ett positivt tal; kalla den $s$. Det betyder att parabelns ekvation kan skrivas

    $g(x) = b(x-s)^2$,

där koefficienten $b$ är positiv.

De två parablerna möts i punkten $(10,10)$, vilket betyder att $f(10) = 10 = g(10)$. Det medför att

    $a(100-r^2) = 10 = b(10-s)^2.$

De två parablerna har en jämn övergång i punkten $(10,10)$, vilket betyder att parablerna har samma lutningar i punkten $(10,10)$.  Det medför att derivatorna $f'(10) = g'(10)$ vilket är samma sak som att

    $10a = b(10-s)$.

Albiki

Yngve skrev :

 Nej var får du -310 ifrån? Och varför sätter du att g(10) = g'(10)? Det stämmer ju inte.

Dina ekvationer är

A) g(10) = 10, vilket är samma sak som $k·(10-d{)}^2 = 10$

B) g'(10) = -3, vilket är samma sak som $2k·(10 - d) = -3$

Från ekvation B kan vi få att $k = -\frac{3}{2·(10-d)}$

Sätt in det i ekvation A och förenkla.

Jag får den från ekvation A), men för punkten P(10,10). Där k=-3, så ekvationen borde kunna skrivas 10=-3(10-d)^2. Eller?

Jag ska försöka lösa med dina förmler på en gång...

Albiki skrev :

 

De två parablerna har en jämn övergång i punkten $(10,10)$, vilket betyder att parablerna har samma lutningar i punkten $(10,10)$.  Det medför att derivatorna $f'(10) = g'(10)$ vilket är samma sak som att

    $10a = b(10-s)$.

Albiki

 Hej Albiki!

Jag är inte med!

Om f'(x)=g'(x) varför är det inte 100-2ar=2b(10-s)?

Och varför kallar du k,b? Är det godtydlig eller är k en symmetripunkt?

Daja skrev :

Yngve skrev :

 Nej var får du -310 ifrån? Och varför sätter du att g(10) = g'(10)? Det stämmer ju inte.

Dina ekvationer är

A) g(10) = 10, vilket är samma sak som k·(10-d)2 = 10

B) g'(10) = -3, vilket är samma sak som 2k·(10 - d) = -3

Från ekvation B kan vi få att k = -32·(10-d)

Sätt in det i ekvation A och förenkla.

Jag får den från ekvation A), men för punkten P(10,10). Där k=-3, så ekvationen borde kunna skrivas 10=-3(10-d)^2. Eller?

 

Jag ska försöka lösa med dina förmler på en gång...

Nej, du blandar ihop det k som finns i 

g(x) = k*(x-d)^2 med derivatan i punkten (10, 10).

Bara för att en konstant heter k behöver den inte beteckna en lutning.

Yngve skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Daja skrev :

Med 2 ekvationer menar du

g(10)=k*(10-d)^2

g'(10)=2k(10-d)=-3?

Isf kommer jag fram till samma

g(10)=-310+60d-d^2, och

g'(10)=2k(10-d)=20k-2kd

 Om båda =0 har vi 20k-2kd=-310+60d-d^2

-310+60d-d^2-20k+2kd ??

Jag kan inte lösa det. Och Wolfram Alpha ger mig något lika konstigt som vacker... Nämligen en orange bark. https://www.wolframalpha.com/input/?i=-310%2B60d-d%5E2-20k%2B2kd

 Nej var får du -310 ifrån? Och varför sätter du att både g(10) och g'(10) ska vara lika med 0? Det stämmer ju inte.

Dina ekvationer är

A) g(10) = 10, vilket är samma sak som $k·(10-d{)}^2 = 10$

B) g'(10) = -3, vilket är samma sak som $2k·(10 - d) = -3$

Från ekvation B kan vi få att $k = -\frac{3}{2·(10-d)}$

Sätt in det i ekvation A och förenkla.

 $$\begin{gathered} -\frac{3}{2(10-d)}*(10-d{)}^2=10 \\ \frac{-3(10-d)}{2}=10 \\ -30+3d=20 \\ d=\frac{50}{3} \\ Och k=-\frac{3}{2*(10-{\displaystyle \frac{50}{3}})}=\frac{-3}{2*{\displaystyle \frac{-20}{3}}}=-3*-\frac{3}{40}=\frac{9}{40} \end{gathered}$$

g(x)=$\frac{9}{40}*(x-\frac{50}{3}{)}^2$

Tack så mycket Yngve... det blev jätte krångligt. Kan du rekommandera något sida, för att revidera hur man känner igen paraboler?

Daja skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

Daja skrev :

Med 2 ekvationer menar du

g(10)=k*(10-d)^2

g'(10)=2k(10-d)=-3?

Isf kommer jag fram till samma

g(10)=-310+60d-d^2, och

g'(10)=2k(10-d)=20k-2kd

 Om båda =0 har vi 20k-2kd=-310+60d-d^2

-310+60d-d^2-20k+2kd ??

Jag kan inte lösa det. Och Wolfram Alpha ger mig något lika konstigt som vacker... Nämligen en orange bark. https://www.wolframalpha.com/input/?i=-310%2B60d-d%5E2-20k%2B2kd

 Nej var får du -310 ifrån? Och varför sätter du att både g(10) och g'(10) ska vara lika med 0? Det stämmer ju inte.

Dina ekvationer är

A) g(10) = 10, vilket är samma sak som $k·(10-d{)}^2 = 10$

B) g'(10) = -3, vilket är samma sak som $2k·(10 - d) = -3$

Från ekvation B kan vi få att $k = -\frac{3}{2·(10-d)}$

Sätt in det i ekvation A och förenkla.

 $$\begin{gathered} -\frac{3}{2(10-d)}*(10-d{)}^2=10 \\ \frac{-3(10-d)}{2}=10 \\ -30+3d=20 \\ d=\frac{50}{3} \\ Och k=-\frac{3}{2*(10-{\displaystyle \frac{50}{3}})}=\frac{-3}{2*{\displaystyle \frac{-20}{3}}}=-3*-\frac{3}{40}=\frac{9}{40} \end{gathered}$$

g(x)=$\frac{9}{40}*(x-\frac{50}{3}{)}^2$

 

Tack så mycket Yngve... det blev jätte krångligt. Kan du rekommandera något sida, för att revidera hur man känner igen paraboler?

Bra! Det är rätt.

Vad vill du veta mer om kring parabler?

Hur man känner igen dem, hur man ritar deras grafer, vad de har för nollställen, hur man bestämmer deras form utifrån givna punkter?

Yngve skrev :

Daja skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Daja skrev :

Med 2 ekvationer menar du

g(10)=k*(10-d)^2

g'(10)=2k(10-d)=-3?

Isf kommer jag fram till samma

g(10)=-310+60d-d^2, och

g'(10)=2k(10-d)=20k-2kd

 Om båda =0 har vi 20k-2kd=-310+60d-d^2

-310+60d-d^2-20k+2kd ??

Jag kan inte lösa det. Och Wolfram Alpha ger mig något lika konstigt som vacker... Nämligen en orange bark. https://www.wolframalpha.com/input/?i=-310%2B60d-d%5E2-20k%2B2kd

 Nej var får du -310 ifrån? Och varför sätter du att både g(10) och g'(10) ska vara lika med 0? Det stämmer ju inte.

Dina ekvationer är

A) g(10) = 10, vilket är samma sak som $k·(10-d{)}^2 = 10$

B) g'(10) = -3, vilket är samma sak som $2k·(10 - d) = -3$

Från ekvation B kan vi få att $k = -\frac{3}{2·(10-d)}$

Sätt in det i ekvation A och förenkla.

 $$\begin{gathered} -\frac{3}{2(10-d)}*(10-d{)}^2=10 \\ \frac{-3(10-d)}{2}=10 \\ -30+3d=20 \\ d=\frac{50}{3} \\ Och k=-\frac{3}{2*(10-{\displaystyle \frac{50}{3}})}=\frac{-3}{2*{\displaystyle \frac{-20}{3}}}=-3*-\frac{3}{40}=\frac{9}{40} \end{gathered}$$

g(x)=$\frac{9}{40}*(x-\frac{50}{3}{)}^2$

 

Tack så mycket Yngve... det blev jätte krångligt. Kan du rekommandera något sida, för att revidera hur man känner igen paraboler?

Bra! Det är rätt.

Vad vill du veta mer om kring parabler?

Hur man känner igen dem, hur man ritar deras grafer, vad de har för nollställen, hur man bestämmer deras form utifrån givna punkter?

 Hej igen Yngve :)

Jag vill veta hur man känner igen dom direkt från deras former! När jag såg uppgiften blev det bara blank i huvudet.

Jag läst på olika trådar att den första var en $a{x}^2+c$ (därför symmetrilinjen var x-axeln) och det var klart; men det var mer komplicerad för den andra kurva.  Innan du skrev att den andra har formeln $k(x-d{)}^2$för att a, b och c var tagna, såg på olika trådar att folk beskrev den som en $k(x-b{)}^{2 }$, eller en $k(x-c{)}^{2 }$- jag förstådd inte vad symmetrilinjen eller konstanten c hade med saken att göra.

Så jag vill gärna lära mig att identifiera dom!

Och dessutom förstådd jag inte vad Alibiki menade med:

10a=b(10-s) (b är väl inte symmetrilinjen...?)

Det verkar som en bra förkortning men vad jämför vi här? 2 derivata?

Hej Daja.

Jag tycker att du ska börja med att läsa igenom följande avsnitt på Matteboken.se.

Andragradsekvationer

Nollproduktmetoden

Kvadratkomplettering

PQ-Formeln

Läs allt och titta även på de videolektioner som finns längst ner på sidorna.

Kom sen tillbaka hit och fråga specifikt om de delar du tycker känns oklara.

 Det som ofta är användbart men som inte står med bland dessa sidor är att om du har ett andragradspolynom $p\left(x\right)$ med nollställen $x_1$ och $x_2$ så kan du faktorisera polynomet som $p\left(x\right) =\hspace{0.17em}k(x - x_1)(x - x_2)$. 

Detta är mycket användbart om du till exempel känner till nollställena för en andragradsfunktion och du vill beskriva funktionen med en formel, eller om du känner till en funktions formel och snabbt vill skissa funktionens graf.

Om nollställena till exempel är $x_1 = 2$ och $x_2 = -3$ så kan du beskriva funktionen som $k(x - 2)(x - (-3\left)\right) = k(x - 2)(x +3)$, där du enkelt kan bestämma k om du känner till en annan punkt (a, b) på funktionens graf. Du får ju då att b = k(a - 2)(a + 3) och kan lösa ut k.

Ett exempel på detta är i din uppgift ovan, där g(x) skrevs på den formen. Eftersom det var en dubbelrot $x_1 = x_2$ och vi kallade roten $x_1 (och x_2)$ för d i den uppgiften så blev funktionsuttrycket $g\left(x\right) = k(x - d)(x - d) = k(x - d{)}^2$.

 Eller tvärtom, om du vet att en funktion f(x) kan faktoriseras som f(x) = 3*(x - 2)(x - 6) så vet du att denna funktion har nollställen $x_1 = 2$ och $x_2 = 6$. Du vet att k = 3, vilket är större än noll. Du kan då enkelt skissa funktionens graf. Eftersom k > 0 så bildar grafen en "glad mun" (positiv koefficient framför $x^2$-termen. Den har sina nollställen vid x = 2 och x = 6 samt en minimipunkt på symmetrilinjen mitt emellan dessa nollställen, dvs vid x = 4. Funktionsvärdet vid minimipunkten är f(4) = 3*(4-2)(4-6) = 3*2*(-2) = -12. Minimipunkten ligger alltså vid (4, -12). Bara att rita på alltså!

Den här frågan ligger i Ma2. Derivator börjar man inte med förrän i Ma3.

Tack så jättemycket, jag ska gå igenom kapitlarna igen och kolla upp videon. Dom brukar vara ganska bra gjort!

Det är synd att jag glömmer så fort jag har löst uppgiften ibland, behöver revidera väldigt ofta...

Varför är b=0? Är det inte så att den första kurvan har ytterligare en punkt som är (-10,10)? Därifrån kan man beräkna dess graf.

Anonym_15 skrev:

Varför är b=0? Är det inte så att den första kurvan har ytterligare en punkt som är (-10,10)? Därifrån kan man beräkna dess graf.

Är du med på följande?

1. Symmetrilinjen för ett andragradsuttryck $ax^2+bx+c$ är $x=-\frac{b}{2a}$
2. Den vänstraste parabelns symmetrilinje är $x = 0$
3. Det betyder att $-\frac{b}{2a}=0$, vilket i sin tur betyder att $b=0$

(Ååh, det här måste vara den äldsta tråd som har återuppväckts på forumet. Undrar vad Dajamanté gör numera.)

Laguna skrev:

[...] Undrar vad Dajamanté gör numera.

Planen var universitets-/högskolestudier, men jag vet inte hur det blev.

varflr  kan andragradsekvation  med dubbelrot skrivas på följande vis: g(x) = k*(x-d)^2

Generellt kan alla andragradsfunktioner (inte andragradsekvation) skrivas på faktoriserad form enligt $g(x)=k(x-x_1)(x-x_2)$, där $x_1$ och $x_2$ är uttryckets nollställen.

Vid dubbelrot så är nollställena identiska (säg $x_1$), vilket betyder att andragradsfunktionen då kan skrivas $g(x)=k(x-x_1)(x-x_1)$, dvs $g(x)=k(x-x_1)^2$.