Andragradsfunktioner: Modellering och ekvationssystem

Hej.

Bra början.

Det är lite förvirrande att du kallar båda funktionsuttrycken f och att du använder samma namn på konstanterna a, b och c i de båda fallen.

Det vore bättre att kalla det ena funktionsuttrycket f och det andra g samt att du särskiljer konstantnamnen på något sätt.

En snabbare väg att få fram funktionsuttrycken är att använda att symmetrilinjen är x = 0 i båda fallen.

Detta betyder att koefficienten framför x-termen (b i dina uppställningar) är lika med 0.

Förstår du varför det är så?

Nej, det gör jag inte. Ska jag kanske börja med en i taget istället för att rita ut båda direkt?

Börja med att läsa detta avsnitt som innehåller väldigt mycket matnyttig information om andragradsfunktioner och deras egenskaper, bland annat vad symmetrilinjen är, hur man hittar den och vad den kan användas till.

Fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Efter det:

Kalla den ena funktionen f(x) = a₁x²+b₁x+c₁, konstatera (med hjälp av informationen från avsnittet jag länkade till) att b₁ = 0 och bestäm c₁ precis som du har gjort i din lösning.

Sedan har du endast den obekanta storheten a₁ kvar. Den kan du bestämma i och med att du vet att f(2,5) = 2

Kalla den andra funktionen g(x) = a₂x²+b₂x+c₂ och för samma resonemang här för att bestämma a₂, b₂ och c₂.

Och välkommen till Pluggakuten!

Tack så mycket! Jag läste igenom sidan några gånger, men förstår fortfarande inte varför man kan konstatera att b är 0. Enda jag kom fram till är att man kan göra det när funktionen endast är f(x)=x^2.

Nu vet jag däremot inte riktigt var jag ska börja med själva uppgiften

Grafen till en andragradsfunktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kallas parabel och den är symmetrisk med avseende på symmetrilinjen.

Andragradsfunktionens nollställen fås genom att lösa ekvationen $f(x)=0$, dvs $ax^2+bx+c=0$, dvs $x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$.

Vi ser att dessa nollställen ligger symmetriskt kring linjen $x=-\frac{b}{2a}$

En andragradsfunktion har alltid antingen en minimi- eller en maximipunkt (kallas stationär punkt)

På grund av symmetrin ligger denna stationära punkt på symmetrilinjen.

I ditt fall ligger minimipunkten för båda funktionerna vid x = 0, vilket gör att det måste gälla att b = 0.

Om uppgiften:

Du vet att

f(x) = a₁x²+1,5 och att f(2,5) = 2

g(x) = a₂x²+0 och att g(2,5) = 2

=======

Kommentar på din första lösning:

Du hade kunnat fortsätta så, men felet du gjorde var att du skrev och räknade med -2,5²a istället för (-2,5)²a

Jaha nu förstår jag, så konstanten b är därmed oftast extrempunkten? Nu löser jag nog uppgiften, tack!

Gustaff skrev:

Jaha nu förstår jag, så konstanten b är därmed oftast extrempunkten?

Nej, konstanten b är inte extrempunkten.

Däremot gäller det att extrempunkten (egentligen den stationära punkten) har x-koordinaten $-\frac{b}{2a}$ och y-koordinaten $f(-\frac{b}{2a})$.

(Orsaken till att jag vill kalla det stationär punkt istället för extrempunkt är att en andragradsfunktion kan ha både en stationär punkt och en extrempunkt.)

Nu löser jag nog uppgiften, tack!

Bra!

Välkommen med fler frågor!