Andragradsfunktioner i faktorform
Hej!
Jag förstår inte vad som menas med att man ska skriva en andragradsfunktion i faktorform.
f(x) = k ( ) ( )
med denna specifika formel.
När jag har försökt söka på exempel på frågor som kräver denna uträkning (tex, nationellt prov matematik 2c VT 2015 del c uppgift 17 b) så säger de att man vill försöka få innehållet i parenteserna till 0. Men jag förstår inte vad som menas. Känns som att jag har missuppfattat.
Med vänlig hälsning, Maja
Hej Maja.
Allmänt gäller att alla andragradsfunktioner kan skrivas i faktorform enligt f(x) = k(x-x1)(x-x2), där k är en konstant som är skild från 0 och x1 respektive x2 är funktionens nollställen.
Att x1 och x2 är funktionens nollställen kommer sig av att f(x1) = f(x2) = 0 enligt nollproduktmetoden:
- Om x = x1 så är faktorn (x-x1) lika med 0
- Om x = x2 så är faktorn (x-x2) lika med 0
Exempel:
Funktionen f(x) = x2+2x-8 kan på faktoriserad form skrivas f(x) = (x+4)(x-2).
Detta eftersom nollställena till x2+2x-8 är (pq-formeln) x1 = -4 och x2 = 2.
Tack så jättemycket!!
Överkurs: En annan intressant sak vi kan se av detta är följande:
Om vi har en andragradsfunktion på faktoriserad form f(x) = (x-x1)(x-x2) och multiplicerar ihop parenteserna så får vi f(x) = x2-(x1+x2)+x1x2.
Vi vet att detta är lika med x2+px+q, vilket ger oss sambanden p = -(x1+x2) och q = x1x2.
Vi har alltså generellt att p är lika med summan av nollställena med omvänt tecken och att q är lika med produkten av nollställen.
Detta kan vi nu utnyttja för att gissa nollställen till ett andragradsuttryck.
Säg att vi exempelvis har x2-7x+12
Vi ser att p = -7 = -(3+4) och q = 12 = 3*4, vilket direkt ger att nollställena är x1 = 3 och x2 = 4 och alltså att x2-7x+12 = (x-3)(x-4).
