Andragradsfunktion (Matematik/Allmänna diskussioner)

Rolig även för oss andra, för att försöka hitta det smidigaste sättet att lösa detta.

Laguna skrev:
Rolig även för oss andra, för att försöka hitta det smidigaste sättet att lösa detta.

Absolut! Ni på en högre nivå kan ju lägga era lösningar inom s.k. "spoilers". Jag fick tänka till en del för att formulera uppgiften så att den skulle bli lagom klurig. Lite sugen faktiskt på att skriva en matematikbok ifall tid funnes. Då skulle det bli många uppgifter av liknade typ.

Visa spoiler

Funktionen har unikt globalt maximum implicerar att $a<0$ så att en kvadratkomplettering ger

$-f(x) = (|a|^{0.5}x-0.5|a|^{-0.5}b)^2 - (c+0.25b^2|a|^{-1})$

och visar att

$-12 = c+0.25b^2|a|^{-1}$ och $2x_{max}=|a|^{-1}b$

så att

$|a|^{0.5}x_{max}+2|a|^{0.5}+0.5|a|^{-0.5}b= 2|a|^{0.5}$

vilket ger

$0 = -4|a|+12 \iff a=-3$

vilket i sin tur medför $144=12c-b^2$ och $6x_{max}+b=0.$

Derivatan $f'(0)=b$ visar att $b=30$ och det följer då att $x_{max}-5=0$ och

$12^2-30^2=12c=(12-30)(12+30)=-18\cdot 42 \iff c=-3\cdot 21=-63.$

Resultat: Koefficienterna $a=-3$ och $b=30$ och $c=-63$ ger polynomet

$f(x) = -3x^2+30x-63 = 12-3(x-5)^2$

för vilket $f(5+2)=12-3\cdot 4=0$ och $f'(0)=-6\cdot (-5).$

Visa spoiler

Till att börja med har vi att $f' (0) = 30$ vilket ger:

$f' (x) = 2 a x + b \Rightarrow b = 30$

Vi har direkt från lösning av ekvationen $f (x) = 0$ att:

$x = - \frac{15}{a} \pm \sqrt{\frac{15^{2}}{a^{2}} - \frac{c}{a}}$

Detta ger att $x_{m a x} = - \frac{15}{a}$ och med $f (x_{m a x}) = 12$ får vi:

$a {(- \frac{15}{a})}^{2} + 30 (- \frac{15}{a}) + c = 12 \Leftrightarrow c = 12 + \frac{225}{a}$

Från $f (x_{m a x} + 2) = 0$ får vi då:

$2 = \sqrt{\frac{15^{2}}{a^{2}} - \frac{c}{a}} \Leftrightarrow 2 = \sqrt{\frac{15^{2}}{a^{2}} - \frac{12}{a} - \frac{15^{2}}{a^{2}}} \Leftrightarrow 2 = \sqrt{- \frac{12}{a}}$

Detta ger att $a = - 3$ vilket ger att $c = - 63$ .

Sammanfattning:

$\{\begin{matrix} a = - 3 \\ b = 30 \\ c = - 63 \end{matrix}$

Snygga lösningar Albiki och Ebola!

Börjar åk 1 gymnasiet till HT, här är min lösning (jag betecknar $x_{m a x}$ som vanligt x):

$f' (0) = 2 a \cdot 0 + b = 30 b = 30 e k v . 1) a x^{2} + 30 x + c = 12 e k v . 2) a (x + 2)^{2} + 30 x + 60 + c = 0 e k v . 3) a (x + 2)^{2} - a x^{2} = 72 (s e r d e n e n d a s k i l \ln a d e n m e l l a n e k v . 1 o c h e k v . 2)$

förenkling av ekv. 2:

$a (x^{2} + 4 x + 4) + 30 x + 60 + c = 0 \Leftrightarrow a x^{2} + 4 a x + 4 a + 30 x + 60 + c = 0$

förenkling av ekv. 3:

$\Leftrightarrow a (x^{2} + 4 x + 4) - a x^{2} = 72 \Leftrightarrow a x^{2} + 4 a x + 4 a - a x^{2} = 72 \Leftrightarrow 4 a x + 4 a = 72$

Variabel substitution i ekv.3:

$\frac{4 a x}{4 a} + \frac{4 a}{4 a} = \frac{72}{4 a} \Leftrightarrow x = \frac{72}{4 a} \Leftrightarrow x = \frac{18}{a}$

Substituerar i ekv.1:

$a \cdot (\frac{18}{a})^{2} + 30 \cdot \frac{18}{a} + c = 12 \Leftrightarrow \frac{324}{a} + \frac{540}{a} + c = 12 \Leftrightarrow \frac{864}{a} + c = 12$

Substituerar i ekv.2:

$a \cdot (\frac{18}{a})^{2} + 4 a \cdot \frac{18}{a} + 4 a + 30 \cdot \frac{18}{a} + 60 + c = 0 \Leftrightarrow \frac{324}{a} + 72 + 4 a + \frac{540}{a} + 60 + c = 0 \Leftrightarrow \frac{864}{a} + 4 a + 132 + c = 0$

Nu subtraherar jag ekv.1 från ekv.2:

$\frac{864}{a} - \frac{864}{a} + 4 a + 132 + c - c = 0 - 12 \Leftrightarrow 4 a + 132 = - 12 \Leftrightarrow 4 a + 132 - 132 = 12 - 132 \Leftrightarrow 4 a = - 144 \Leftrightarrow a = - 36$

Sätter in alla värden jag har fått reda på (a och b) i bägge ekvationer för att få reda på c:

$e k v . 1 : \frac{864}{- 36} + c = 12 \Leftrightarrow - 24 + c = 12 \Leftrightarrow c = 36 s ä t t e r i n a l l a v a r i a b l e r i e k v 2 : \frac{864}{- 36} + 4 \cdot - 36 + 132 + 36 = 0 \Leftrightarrow - 24 - 144 + 132 + 36 = 0 \Leftrightarrow 168 - 168 \equiv 0$

Sätter in i ursprungsekvationer för att kontrollera:

ekv.1:

$- 36 \cdot - 0, 5^{2} + 30 \cdot - 0, 5 + 36 = 12 \Leftrightarrow - 9 - 15 + 36 = 12 \Leftrightarrow 36 - 24 = 12 \Leftrightarrow 12 \equiv 12$

ekv2:

$- 36 \cdot (- 0, 5 + 2)^{2} + 30 \cdot - 0, 5 + 60 + 36 = 0 \Leftrightarrow - 36 \cdot 2, 25 - 15 + 96 = 0 \Leftrightarrow - 81 - 15 + 96 = 0 \Leftrightarrow 96 - 96 = 0 0 \equiv 0$

Allt stämmer!

Svar:

a = -36

b = 30

c = 36

Något måste vara fel, körde den på geogebra och max blev 42,25...

Iridiumjon skrev:
Något måste vara fel, körde den på geogebra och max blev 42,25...

Tänket ser rätt ut, men det ska väl vara $-72$ i början?

Min lösning:

Visa spoiler

Ansätt: $f(x)=d+k(x-w)^2$
$f(w)=12\Rightarrow$
$d+k(w-w)^2=d=12$
$f(w+2)=12+k(w+2-w)^2=0$
$12+k\cdot 4 = 0 \Rightarrow k=-3$
$f'(x)=2k(x-w)$
$f'(0)=-6(-w)=30\Rightarrow$
$w=\frac{30}{6}=5$
$f(x)=12-3(x-5)^2=12-3(x^2-10x+25)=$
$-3x^2+30x-63$

tomast80 skrev:
Iridiumjon skrev:
Något måste vara fel, körde den på geogebra och max blev 42,25...
Tänket ser rätt ut, men det ska väl vara $-72$ i början?

Aha, jo det ska det vara.