Andragradsfunktion

Stängslets längd, 40 meter, är omkretsen för hundgården. Vilka gränser finns för sidorna?

Jag vet inte riktigt 

Hundgården kan ha olika form, se nedan. Omkretsen (2a + 2b) = 40 m.

Vilket samband finns mellan a och b?

Vilket är det minsta värdet sidan a kan ha?

Vilket är det största värdet som sidan a kan ha?

Typ såhär? (O=40?)

Jo, det är tre alternativ på lösning. Alla har omkretsen 40 meter.

Om du tänker på extremfallen. Hur kort kan en sida vara? Och vilket är det högsta (längsta) värdet en sida kan ha?

Såhär kanske?

Det närmar sig, fast du svarar inte riktigt på mina frågor. Glöm för ett ögonblick bort exemplet med hundgården, utan tänk generellt på rektanglar med omkretsen 40 m.

Det går ju att krympa den korta sidan ännu mer, till exempel 0.5 m. Då blir den långa sidan 19.5 m.

Och är den korta sidan 0.25 m, så blir den långa sidan 19.75 m. Hur blir det om man minskar den korta sidan ytterligare? Vilka extremvärden får man?

Jämför med grafen i början på problemet. x visar längden på en sida och y visar rektangelns yta. Vad blir Q-värdet? 

Jag förstår tyvärr inte riktigt

Titta på rektangeln med sidorna 1 och 19. Om vi minskar längden på kortaste sidan ännu mer kan man teoretiskt få längden till 0 m. Då blir den långa sidan 20 m. Omkretsen är fortfarande 40 m. (=2*0 + 2*20). Vi kan inte ha negativa värden på en rektangel. Är du med på det, eller har du några frågor?

När vi är överens kan vi titta på rektangeln hänger ihop med grafen.

Okej! Förstår på ett ungefär. Kan man därför tolka grafen så att x1= 0 eftersom den ser ut att gå igenom origo och därför blir den andra 20 för att omkretsen skall kunna bli 40 så som du visade ovan?

Bra. Då kan vi titta på problemet igen:

Det är ju f(x) som visar funktionen med hundgården.

I problembeskrivningen står det: Hundgårdens area är en funktion av hundgårdens längd.

Om du tittar på grafen y = f(x), så är x = Hundgårdens längd och y = Hundgårdens area.

Hundgårdens längd kan variera från 0 till 20 m. Om längden (L) är 0, så är bredden (B) 20, och om längden är 20, så är bredden 0. Sambandet mellan längd och bredd är: L+B=20 (eftersom 2L+2B=40).

Tillåtna värden på längden ligger mellan 0 och 20, därför blir Q=20.

Hundgårdens area = L*B. Men eftersom L+B=20 kan skrivas som B=20-L, så kan arean skrivas som L*(20-L). I grafen kallas längden x och arean y. Det betyder att y = f(x) kan skrivas y=x*(20-x).

Om x = 0 eller x=20, så blir arean (y) = 0, det är ytterkanterna på grafen. Kurvans topp ligger mitt emellan 0 och 20, det vill säga när x=10. Då är arean 10*10 = 100 vilket är det största värdet som arean kan ha.

Det blev mycket text, du får gärna fråga mer om du inte förstår. Men svaret är att x-värdet vid Q = 20, eftersom det visar maximal längd i rektangeln.

Okej tack så jättemycket för bra förklaring och tålamod med mig!