Andragradsekvationer pq-formeln

Är du medveten att: Om ekvationen x²+px+q=0 har två rötter x₁ och x₂ så är: q=x₁*x₂ och p=-(x₁+x₂)?

Vad blir då hennes första ekvation hon löste och fick rötterna x₁=2 och x₂=-3?

Jag är inte medveten att "Om ekvationen x2+px+q=0 har två rötter x1 och x2 så är: q=x1*x2 och p=-(x1+x2)" Hur fungerar det? 

Om   x² + px + q = 0  har rötterna  x₁  och x₂  ,

så kan  VL  faktoriseras till    (x - x₁)(x - x₂) ,

som kan utvecklas till    x² - x·x₂ - x₁·x + x_1·x₂ 

som kan skrivas    x² - (x₁ + x₂)x + x₁·x₂ .

abc1234 skrev:

Jag är inte medveten att "Om ekvationen x2+px+q=0 har två rötter x1 och x2 så är: q=x1*x2 och p=-(x1+x2)" Hur fungerar det? 

Ett sätt att komma fram till detta är att använda pq-formeln och sen lösa ut $p$ och $q$ ur resultatet.

Ekvationen $x^2+px+q=0$ har lösningarna $x_1=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$ och $x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

Vi löser nu ut $p$ och $q$ ur dessa samband.

Om vi adderar sambanden så får vi

$x_1+x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$, dvs

$x_1+x_2=-\frac{p}{2}-\frac{p}{2}$, dvs $x_1+x_2=-p$, dvs $p=-(x_1+x_2)$

Om vi istället multiplicerar sambanden så får vi

$x_1\cdot x_2=(-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})(-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

Med hjälp av konjugatregeln kan detta skrivas $x_1\cdot x_2=(-\frac{p}{2})^2-(\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})^2$, dvs

$x_1\cdot x_2=\frac{p^2}{4}-((\frac{p}{2})^2-q)$, dvs

$x_1\cdot x_2=\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q$, dvs

$x_1\cdot x_2=q$