Andragradsekvationer: Lös Ekvation

Hej,

Istället för att utveckla kvadraterna kan du använda Konjugatregeln för att dra ihop dem.

    $(2x)^2-(2-k)^2 = \left(2x-(2-k)\right)\cdot\left(2x+(2-k)\right)=\left(2(x-1)+k\right)\cdot\left(2(x+1)-k\right)$

Albiki skrev:

Hej,

Istället för att utveckla kvadraterna kan du använda Konjugatregeln för att dra ihop dem.

    $(2x)^2-(2-k)^2 = \left(2x-(2-k)\right)\cdot\left(2x+(2-k)\right)=\left(2(x-1)+k\right)\cdot\left(2(x+1)-k\right)$

Hej! Tack!

Via Konjugatregeln får jag: $\left(2\right(x-1\left)\right)²-k²=0$

Försöker jag utveckla den hamnar jag i en andragradsekvation där konstanten k hamnar under rottecknet och då kan jag inte lösa ut den.

Försöker jag nollproduktsmetoden och ersätter x med 1 för att få produkten 0 (och sedan 0 - k² = 0) hamnar jag ingenvart.

Jag är osäker på hur jag ska gå vidare efter att ha dragit ihop dem med konjugatregeln.

Hej!

I lösningen du redovisar från början (väldigt fint också) delar du upp ekvationen innan du tar nollproduktsmetoden. Det fungerar bara ifall du bryter ut en faktor. Båda delarna behöver inte vara 0, ena kan vara 3 om andra är -3. Det är irrelevant för denna fråga men kan vara bra att tänka på.

Varför ersätter du x med 1? Du letar efter ett värde på x (som får innehålla k) så ersätt inte x med något.

Kolla en gång till på hur Albiki använde konjugatregeln (baklänges) och använd sedan nollproduktsmetoden. Det finns inget behov av att utveckla ekvationen såsom du gör utan behåll den på faktoriserad form.

Linnea.Solveig skrev:

Hej!

I lösningen du redovisar från början (väldigt fint också) delar du upp ekvationen innan du tar nollproduktsmetoden. Det fungerar bara ifall du bryter ut en faktor. Båda delarna behöver inte vara 0, ena kan vara 3 om andra är -3. Det är irrelevant för denna fråga men kan vara bra att tänka på.

Varför ersätter du x med 1? Du letar efter ett värde på x (som får innehålla k) så ersätt inte x med något.

Kolla en gång till på hur Albiki använde konjugatregeln (baklänges) och använd sedan nollproduktsmetoden. Det finns inget behov av att utveckla ekvationen såsom du gör utan behåll den på faktoriserad form.

Hej! (Tack!)

Tack för det första tipset - det tänkte jag inte på.

Jag försökte mig fram när jag ersatte x med 1 (men till ingen nytta). Jag tänkte faktiskt inte på att x fick innehålla k . Nu blev det klarare.

Såhär gjorde jag nu (jag vet inte om steg-för-steg metoden är rätt; uppskattar feedback om det!):

Drar ihop med konjugatregeln:

$\left(2\right(x-1\left)\right)²-k²=0$

Flyttar (- k²) till HL:

$$\begin{gathered} \left(2x\right(x-1\left)\right)²=\mathit{k}\mathbf{²} \\ (2x-2)²=\mathit{k}\mathbf{²} \end{gathered}$$

Tar roten ur på båda led:

$$\begin{gathered} k=\pm \sqrt{(2x-2)²} \\ k =\pm 2x-2 \end{gathered}$$

Löser ut x:

$$\begin{gathered} k =\mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathit{x}-2 \\ \mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathit{x}=k+2 \\ \mathbf{\pm }\mathit{x}=\frac{k+2}{2} \end{gathered}$$

Hittar x-rötterna:

$$\begin{gathered} \mathbf{\pm }\mathit{x}=\frac{k+2}{2} \Rightarrow \mathit{x}=\frac{k+2}{2} \Rightarrow \mathit{x}=0,5k+1 \\ \mathbf{-}\mathit{x}=\frac{k+2}{2} \Rightarrow \mathbf{-}\mathit{x}=\frac{k+2}{2} \Rightarrow \mathbf{-}\mathit{x}=0,5k+1 \Rightarrow \mathit{x}=-0,5k+1 \end{gathered}$$

Rötterna är alltså:

$$\begin{gathered} {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}=0,5k+1 \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}=-0,5k+1 \end{gathered}$$

Det enda som skiljer sig från facit är additionstecknet på $x_1=0,5k\mathbf{+}1$ vilket är ett subtraktionstecken i facit. Jag har en känsla att jag har krånglat till steg-för-steg metoden och placerat $\pm$ fel. Vart har jag gjort fel? Tack igen!

Redigering: Märkte mitt fel! Ska redigera med korrekt metod strax - uppskattar fortfarande feedback på steg-för-steg dock! :)

Redigering 2: Räkningsfelet inträffar då jag löser ut x. Jag ändrade på räknetecknet av misstag.

Det ska istället vara (tidigare blev subtraktionstecknet ett additionstecken på HL - nu har jag fixat det):

 $$\begin{gathered} k =\mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{-}2 \\ \mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathit{x}=k\mathbf{-}2 \\ \mathbf{\pm }\mathit{x}=\frac{k\mathbf{-}2}{2} \end{gathered}$$

Hittar x-rötterna (denna gång på rätt sätt):

$$\begin{gathered} \mathbf{\pm }\mathit{x}=\frac{k-2}{2} \Rightarrow \mathit{x}=\frac{k-2}{2} \Rightarrow \mathit{x}=0,5k-1 \\ \mathbf{-}\mathit{x}=\frac{k-2}{2} \Rightarrow \mathbf{-}\mathit{x}=\frac{k-2}{2} \Rightarrow \mathbf{-}\mathit{x}=0,5k-1 \Rightarrow \mathit{x}=-0,5k+1 \end{gathered}$$

Rötterna blir alltså:

$$\begin{gathered} {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}=0,5k-1 \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}=-0,5k+1 \end{gathered}$$

(vilket stämmer med facit!)

Redigering 3: Tack så mycket för hjälpen - jag håller tråden uppe om någon är snäll och ger mig feedback på steg-för-steg lösningen - om inte så löser jag tråden efter 24h isåfall! :)

Du har helt rätt i att du krånglar till det. Titta på Albikis förenkling en gång till.

Där står: (2(x-1)+k)(2(x+1)-k)=0

Det är två faktorer som tillsammans blir 0. Där är det fullt godkänt att använda nollproduktsmetoden. 

Gällande ditt svar. Det är mycket som ser bra ut men hur får du 2x(x-1) till 2x-2? I en av de första raderna. Samt att när du inför +- för första gången så gäller det allt som stod under roten ur tecknet och inte bara första termen. Dvs (2x-2) och inte bara 2x.

Försök en gång till, gärna med din metod för att se om du kan få det rätt men framförallt med Albikis. 

Lycka till!

Linnea.Solveig skrev:

Du har helt rätt i att du krånglar till det. Titta på Albikis förenkling en gång till.

Där står: (2(x-1)+k)(2(x+1)-k)=0

Det är två faktorer som tillsammans blir 0. Där är det fullt godkänt att använda nollproduktsmetoden. 

Gällande ditt svar. Det är mycket som ser bra ut men hur får du 2x(x-1) till 2x-2? I en av de första raderna. Samt att när du inför +- för första gången så gäller det allt som stod under roten ur tecknet och inte bara första termen. Dvs (2x-2) och inte bara 2x.

Försök en gång till, gärna med din metod för att se om du kan få det rätt men framförallt med Albikis. 

Lycka till!

Hej! Tack igen - jag försöker med ditt råd kring faktorer.

Jag gjorde ett räknefel med 2x(x-1) = 2x-2 (inser att det ska vara 2x² - 2x). Tack för tipset med ± jag tänkte inte på det.

(Albikis metod) Ekvation i faktoriserad form:

(2(x - 1) + k)(2(x + 1) - k) = 0

Nollproduktsmetod (förenklar uttrycken separat så att x står ensam i VL:

(2(x - 1) + k) = 0   ->   2x - 2 + k = 0   ->   2x = 2 - k   ->    $x_1 = \frac{2-k}{\mathbf{2}} = 1 - 0,5k$

(2(x + 1) - k) = 0   ->   2x + 2 - k = 0   ->   2x = -2 + k    ->   $x_2 =\hspace{0.17em}\frac{-2+k}{\mathbf{2}} = -1 + 0,5k$

Alltså är rötterna:

$$\begin{gathered} x_1=-0,5k + 1 \\ {x}_2=0,5k - 1 \end{gathered}$$

(vilket stämmer med facit!)

Denna metod var mycket enklare att behandla - tack så mycket för den! Jag är dock liiite osäker om jag gjorde rätt steg-för-steg - så uppskattar feedback på det! :)

Tack igen Linnea!

En alternativ metod är att sätta a=(2-k)

Det ger 4x²-a²=0 som ger $a=\pm \sqrt{4x^2}$

Sedan är det bara att stoppa in de två rötterna i  $4x^2-a^2=0$och lösa ekvationen.

ConnyN skrev:

En alternativ metod är att sätta a=(2-k)

Det ger 4x²-a²=0 som ger $a=\pm \sqrt{4x^2}$

Sedan är det bara att stoppa in de två rötterna i  $4x^2-a^2=0$och lösa ekvationen.

(Tack!) Sant! Substitution fungerar också - vet inte varför jag inte tänkte på det.

Såhär gjorde jag nu:

4x² - (2 - k)² = 0

Substitution: a = (2 - k)

      4x² - (a)² = 0 

      4x² - a² = 0

Förenklar: 

a² = 4x²

Roten ur båda led:

a = $\pm \sqrt{4x²}$

a = $\pm 2x$

$$\begin{gathered} a_1 =\hspace{0.17em}2x \Rightarrow \mathbf{2}\mathit{x} = (2-k) \Rightarrow \mathit{x} = \frac{2-k}{\mathbf{2}}= 1-0,5k \\ {a}_2 = -2x \Rightarrow \mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x} = (2-k) \Rightarrow \mathit{x} = \frac{2-k}{\mathbf{-}\mathbf{2}}= -1+0,5k \end{gathered}$$

x-rötterna är alltså:

$$\begin{gathered} x_1=-0,5k + 1 \\ {x}_2=0,5k - 1 \end{gathered}$$

Hoppas att metoden steg-för-steg var rätt denna gång med.

Tack igen ConnyN!

Ja mycket snyggt och steg för steg är en mycket bra metod.

Att det spar jättemycket tid och att man behärskar metoderna så mycket bättre är en stor bonus.

Varför tror jag att man spar tid på något som ser så jobbigt ut?
Där kan man tala om egen erfarenhet. Hur många uppgifter har jag slitit mitt hår för att jag gjort missar när jag hoppat över stegen och tagit det i huvudet? Hur många gånger har jag inte suttit med + och - tecken och försökt hitta felet?

Hoppas du fortsätter med din noggranna metod då kommer du att hinna med så mycket mer än om du ginar.

Tjusigt!!!

Tack ConnyN & tack alla som hjälpt till! Förstår mycket mer nu.

Löser tråden!