Andragradsekvationer

De menar att den andra roten är 5-2i.

Ditt resonemang stämmer, men det är teckenfel någonstans, för pq-metoden på ditt svar skulle ge -5+2i.

Laguna skrev:

De menar att den andra roten är 5-2i.

Ditt resonemang stämmer, men det är teckenfel någonstans, för pq-metoden på ditt svar skulle ge -5+2i.

Menade X^2-10x+29 :) 

Jag är med på att den andra lösningen är 2-i då svaret kommer bli 5$\pm$ $2i$,

Kanske övertolkar ledtråden, men tänker att de syftar på att man kan lösa upgiften på något annat sätt bara utifrån att man vet vad rötterna är ? 

poijjan skrev:

...

Kanske övertolkar ledtråden, men tänker att de syftar på att man kan lösa upgiften på något annat sätt bara utifrån att man vet vad rötterna är ? 

Ja så är det nog.

En godtycklig andragradsekvation kan skrivas $P(x)=0$, där $P(x)$ är ett andragradspolynom.

Ett godtyckligt andragradspolynom kan skrivas i faktoriserad form som $P(x)=k(x-x_1)(x-x_2)$, där k är en reell konstant och $x_1$ respektive $x_2$ är polynomets nollställen, dvs lösningarna till andragradsekvationen $P(x)=0$.

Om du nu multiplicerar ihop parenteserna i uttrycket för $P(x)$ så får du att $P(x)=k(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)$.

Eftersom du känner till både $x_1$ och $x_2$ så är det bara att sätta in dessa värden i det ihopmultiplicerade uttrycket ovan, förenkla och sedan välja ett valfritt värde på konstanten $k$.

Yngve skrev:

poijjan skrev:

...

Kanske övertolkar ledtråden, men tänker att de syftar på att man kan lösa upgiften på något annat sätt bara utifrån att man vet vad rötterna är ? 

Ja så är det nog.

En godtycklig andragradsekvation kan skrivas $P(x)=0$, där $P(x)$ är ett andragradspolynom.

Ett godtyckligt andragradspolynom kan skrivas i faktoriserad form som $P(x)=k(x-x_1)(x-x_2)$, där k är en reell konstant och $x_1$ respektive $x_2$ är polynomets nollställen, dvs lösningarna till andragradsekvationen $P(x)=0$.

Om du nu multiplicerar ihop parenteserna i uttrycket för $P(x)$ så får du att $P(x)=k(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)$.

Eftersom du känner till både $x_1$ och $x_2$ så är det bara att sätta in dessa värden i det ihopmultiplicerade uttrycket ovan, förenkla och sedan välja ett valfritt värde på konstanten $k$.

Tackar! 

Har hållt mig till "pq funkar alltid", nu kommer straffet :-)  måste uppdatera mig på det där, men det känns igen! 

Hej!

Om $p(x)$ är ett polynom med reella koefficienter och det komplexa talet $z = a+ib$ är en rot till polynomet -- det vill säga $p(z) = 0$ -- så är även det komplexa talet $\bar{x} = a-ib$ en rot till polynomet.

• Du vet att $z = 5+i2$ är en rot till polynomet $p$ och då är $\bar{z} = 5-i2$ också en rot till $p$.
• Då $p$ är ett andragradspolynom har det inga fler rötter.

Det betyder att polynomet kan skrivas

    $p(x) = k \cdot (x-z)(x-\bar{z})$

där $k$ är någon konstant, vilken som helst. För att bestämma exakt vilken konstant $k$ det är fråga om måste du veta $p(x)$ för ett visst x-värde.

Om exempelvis $p(0) = 1$ så är $k = 1/29$ eftersom

    $1 = k\cdot (0-z)(0-\bar{z}) = k \cdot z\bar{z} = k \cdot (5^2+2^2) \iff k = 1/29.$

Albiki skrev:

Hej!

Om $p(x)$ är ett polynom med reella koefficienter och det komplexa talet $z = a+ib$ är en rot till polynomet -- det vill säga $p(z) = 0$ -- så är även det komplexa talet $\bar{x} = a-ib$ en rot till polynomet.

• Du vet att $z = 5+i2$ är en rot till polynomet $p$ och då är $\bar{z} = 5-i2$ också en rot till $p$.
• Då $p$ är ett andragradspolynom har det inga fler rötter.

Det betyder att polynomet kan skrivas

    $p(x) = k \cdot (x-z)(x-\bar{z})$

där $k$ är någon konstant, vilken som helst. För att bestämma exakt vilken konstant $k$ det är fråga om måste du veta $p(x)$ för ett visst x-värde.

Om exempelvis $p(0) = 1$ så är $k = 1/29$ eftersom

    $1 = k\cdot (0-z)(0-\bar{z}) = k \cdot z\bar{z} = k \cdot (5^2+2^2) \iff k = 1/29.$

Bra förklarat , tack så mycket! Tror jag hänger med på hur det fungerar nu!