Andragradsekvation med tre variabler

Hej!

Jag gör en uppgift där jag ska avgöra huruvida en funktion f har ett extremvärde i origo. Ett steg i min lösning är att avgöra huruvida $Q (h, k, l) = 0$ för något $(h, k, l) \neq (0, 0, 0)$ där

$Q (h, k, l) = 2 ({(h - k - l)}^{2} + {(k + 2 l)}^{2} - l^{2})$ .

Jag vill alltså veta ifall ekvationen ${(h - k - l)}^{2} + {(k + 2 l)}^{2} = l^{2}$ har några lösningar förutom $(h, k, l) = (0, 0, 0)$ . Hittills har jag inte hittat några andra lösningar. Hur kan man se huruvida någon lösning finns?

Snabbt test av $(1,1,-\frac{1}{2})$ ger Q=0.

Rent till formen är ekvationen en linjär transformation av ekvationen

$x^2 + y^2 - z^2 = 0$

vilket geometriskt motsvarar ett objekt uppbyggt av två koner med gemensam spets

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+y%5E2+-+z%5E2

något som innehåller oändligt många (sammanhängande) punkter och inte bara (0,0,0)

Guggle skrev :
Snabbt test av $(1,1,-\frac{1}{2})$ ger Q=0.

Nu när jag tänker efter så skulle det ju kunna gå att se ganska snabbt för min del också. Kan detta vara ett fall där det är tänkt att man ska kunna se det utan någon specifik metod? Dvs det handlar om att öva upp denna "förmåga"?

SeriousCephalopod skrev :
Rent till formen är ekvationen en linjär transformation av ekvationen
$x^2 + y^2 - z^2 = 0$
vilket geometriskt motsvarar ett objekt uppbyggt av två koner med gemensam spets
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+y%5E2+-+z%5E2
något som innehåller oändligt många (sammanhängande) punkter och inte bara (0,0,0)

Där sa du något.

Det gäller väl fortfarande att något av dessa värden på (x, y, z) ska kunna uppnås genom funktionerna $x (h, k, l) = h - k - l$ , $y (k, l) = k + 2 l$ samt $z (l) = l$ ? Vilket det i detta fallet uppenbarligen går. Det jag försöker fråga är väl egentligen att OM värdemängden för dessa tre funktioner är helt utanför lösningsmängden för Q så saknar ekvationen i min uppgift lösningar? Försöker bara få en liten förståelse för hur allt hänger ihop när man utför en sådan här variabelsubstitution.

Om variabelsubstitutionen är en riktig variabelsubstitution dert vill säga bijektiv (dess determinant är nollskilld/inga dimensioner plattas till) så kommer inte en variabelsubsitution att ändra antalet lösningar i lösningsmängden även om de individuella talen blir annorlunda.

Jämför lösningsmängden till

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+y%5E2+-+z%5E2

och till din ekvation

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(x+-+y+-+z)%5E2+%2B+(y+%2B+2z)%5E2+-+z%5E2+%3D+0

Lösningsmängderna är olika men de har samma dimension/kardinalitet/storlek eftersom de är samma geometri/topologi bara skevad och roterad. De båda innehåller oändligt många punkter.

Detta är grundläggande dimensionsargument från linjär algebra och hjälper oss inte finna lösningarna men hjälper oss att snabbt härleda hur många lösningar vi har.

Men, visst vill du avgöra karaktären hos den kvadratiska formen $Q$ för att bestämma om origo är en lokal extrempunkt?

Om $Q>0$ (strikt) så är det ett lokalt minimum. Positivt definit

Om $Q<0$ (strikt) så är det ett lokalt maximum. Negativt definit

Och om $Q$ antar både positiva och negativa värden, så är det en sadelpunkt.

Och om $Q \geq 0$ eller $Q \leq 0$ så kan man inte avgöra karaktären på detta sätt.

Svara

Visa senaste svar