Andragradsekvation komplexa tal. Hjälp att hitta felkälla

Jag räknar andragradsekvationer med komplexa tal. Jag vet strategin men det går fel i räkningen någonstans. Vore fint om någon kunde felsöka mina led och se i vilket steg det går fel

Talet är: $z^{2} - (3 + 2 i) z + 5 + i = 0 J a g k v a d r a t k o m p l e t t e r a r : z^{2} - 2 (\frac{3}{2} + i) = - 5 - i z^{2} - 2 (\frac{3}{2} + i) + (\frac{3}{2} + i)^{2} = - i - 5 + (\frac{3}{2} + i)^{2} (z - (\frac{3}{2} + i))^{2} = - i - 5 + \frac{9}{4} + i^{2} + 3 i (z - (\frac{3}{2} + i))^{2} = 2 i - \frac{15}{4} A n s ä t t e r z - (\frac{3}{2} + i) = x + i y \Rightarrow x^{2} - y^{2} + 2 x y i = 2 i - \frac{15}{4} I m a g i n ä r d e l a r : 2 x y = 2 \Rightarrow x y = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{y} R e a l d e l a r = x^{2} - y^{2} = - \frac{15}{4} S u b s i t u t i o n g e r : (\frac{1}{y})^{2} + y^{2} = - \frac{15}{4} 1 - y^{4} = - \frac{15}{4} y^{4} = \frac{19}{4} V i l k e t i n t e k ä n n s s o m n å g r a b r a s i f f r o r a t t j o b b a m e d . . . V a r g å r d e t f e l ?$

Hej!

Börja med att notera att andragradspolynomets koefficienter är komplexa tal, vilket signalerar att dess rötter inte kommer att vara ett komplexkonjugerat par.

Strategin med kvadratkomplettering är bra.

Skriv $w = z-(1.5 + i)$ på polär form istället för rektangulär form

$w = re^{iv}$

och skriv det komplexa talet $-15/4 + i2$ på polär form också

$-15/4 + i2 = Re^{i\theta + i2\pi n}$ där $n$ betecknar ett heltal; bestäm modulen $R$ och argumentet $\theta$ först!

Ekvationen säger att $r = \sqrt{R}$ och $v = 0.5\theta + \pi n$ vilket ger

Error converting from LaTeX to MathML och $z_{2} = (1.5+i) + \sqrt{R}e^{i0.5\theta + i\pi}$ ;

skriv de två rötterna på rektangulär form, och inte på blandad form som jag gjort här (det ser slarvigt ut med blandad form).

Albiki

$z^{2} - (3 + 2 i) z + 5 + i = 0 J a g f ö r e d r a r p q m e t o d e n z = \frac{(3 + 2 i)}{2} \pm \sqrt{\frac{(3 + 2 i)^{2}}{2^{2}} - 5 - i}$

återstår att lösa rotuttrycket förs en förenkling

$\sqrt{\frac{(3 + 2 i)^{2}}{2^{2}} - 5 - i} = \sqrt{\frac{(3 + 2 i)^{2} - 20 - 4 i}{4}} = \sqrt{\frac{9 - 4 + 12 i - 20 - 4 i}{4}} = \sqrt{\frac{- 15 + 8 i}{4}}$

gör ansatsen

$a + b i = \sqrt{\frac{- 15 + 8 i}{4}} k v a d r e r a b ä g g e l e d a^{2} - b^{2} + 2 a b i = \frac{- 15 + 8 i}{4}$

separera real och imaginärdel

$a^{2} - b^{2} + 2 a b i = \frac{- 15 + 8 i}{4} \{\begin{cases} a^{2} - b^{2} = \frac{- 15}{4} \\ 2 a b = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{b} \end{cases} \{\begin{cases} \frac{1}{b^{2}} - b^{2} = \frac{- 15}{4} \\ a = \frac{1}{b} \end{cases}$

lös första ekv, ger att b = +-2 vilket i sin tur medför att a = -+1/2

Nu kan du lösa resten själv...

Edit: Ser att Albiki löst det på ett enklare sätt

Tack för hjälpen. Bra att kunna se två olika sätt att lösa det på också. Då var jag inte helt fel ute i alla fall!

Svara

Visa senaste svar