Andragradsekvation

Det är otydligt vad du menar, men tänk på att b kan vara negativ.

Men konstanterna b och c är lika, och det är uppställt + C. Om B och c är lika borde B inte kunna vara -?

Kanske är korrekt om det är + (-c) och paranteserna inte skrivs ut 

I vilket fall så.. jag kan inte komma längre.

Om b är negativ så är c också det, för de är lika.

pq-formeln kanske inte är rätt väg, och dessutom blir det sqrt(0,25b²-b).

Ena roten är 1 och andra är k, kan vi säga. Då är polynomet lika med (x-1)(x-k).

Okej.

Jo, det stämmer ju..

Nej så nollproduktsmetoden då.

(X-1)(X-k) 

… Första X är 1 eftersom det ska bli 0. Den andra ska också bli 0 så då är K också 1.. eller vadå.

Multiplicera ihop parenteserna och jämför med x²+bx+c.

Okej.

x^2 + bx + c

(x-1)(x-k)

x^2 -xk-X+k

Jag har ett värde mer där.

Har prövat alla formler jag kan tänka mig på olika sätt, försökt resonerat, kollat igenom alla relevanta exempel i boken. I slutändan måste jag förstå vad jag ska göra, och jag begriper inte oavsett hur jag vrider och vänder på frågan. Det här ämnet får en verkligen att känna sig totalt värdelös.

Om man tänker sig då nollproduktsmetoden.

(1+b)(x+b) = 0

Då får jag b = -1, och jag kan egentligen bara se ett enda svar och det är att X är 1. Men det ska finnas två så jag gör fel på något sätt. Vad kan det vara för fel.. inget ljus tänds. Hur gör jag då.

Jag kvadratkompletterar och ser om det ger någonting.

b=c så man borde kunna ersätta c med b vad jag förstår.

(x+b)(x+b)

x^2 +2bx + b^2

Okej, det här blir konstigt. B^2 är ju inte samma sak som b. Menar dom att basen är lika eller slutvärdet? Borde vara värdet, alltså är det fel.

Vilket tal *2 är lika stort som ^2? kommer inte fram till något svar på det. Så jag förstår inte hur b=c.

Hur ska jag gå vidare då. Jag prövar ersätta X med 1 och skriver ut ekvationen som det står. B=c enligt uppgiften så ersätter c med b. Det här kanske är fel och det leder in mig på fel spår från början? Funderar över det en hel del men nej, det borde vara en korrekt tolkning. 

1^2 + b + b =0

1+2b = 0

b = -0.5.

Okej, jag kanske har kommit fram till någonting. Börjar om från början och skriver ut -0.5.

x^2 -0.5x -0.5 = 0

Först ersätter jag X med 1 för att se att det är korrekt. 1 - (0.5*1) -0,5 = 0. Ja, det är korrekt. Hur ska jag nu kunna ta reda på ett värde till, jag får titta på uppgiften och se om jag kan pröva mig fram till någonting. Jag skriver in X = 0.5 för skojs skull och ser vad som händer.

0.25 - 0,25 - 0.5 = -0,5

Nej, felaktigt.

Vi prövar -0.5.

-0.25 + 0.25 - 0,5 = -0.5

Gick inte heller.

okej vad för jag för fel.. hm, nej jag kör fast här också. Jag förstår inte. Varför förstår jag inte? Försök hitta en lösning här så kan man försöka tackla det. Är mina grunder dåliga, är jag så obegåvad så det är över min förmåga, övertänker jag problemet och ser det som komplext fast det är hur enkelt som helst? Läser jag för snabbt och tolkar uppgiften fel? Mycket att gå igenom.

Är mina grunder dåliga? Jag går igenom exemplen och ser att jag förstår uttrycket och vad jag kan göra med det. Finns inga exempel som tacklar en liknande uppgift heller så jag kan inte lära mig något nytt här. Några sökningar på google ger ingenting heller.

Är det över min intellektuella förmåga? Tydligt, annars hade jag kunnat resonera mig fram till svaret även med bristande kunskap då det är tydligt att problemet är relativt enkelt. Matte är trots allt ren logik. Alltså måste jag försöka överkomma det genom studera mer. Men om jag utgår ifrån att jag inte förstår, då måste per definition betyda att det är ganska troligt att jag drar fel slutsatser och inte förstår frågan rätt eller tänker i fel spår, fast jag tror att det är korrekt. Får börja om från början och ta det lugnt och utgå ifrån att det är sannolikt att jag misstolkar information och hamnar i fel tankebanor.

X^2 + bx + c = 0

Det är tydligt att det är som upplagt för pq formeln. Men om det går att faktorisera uttrycket borde man kunna få ut båda värden samtidigt. Det gav problemet att jag inte kunde få b och c lika. Jag utforskar det igen och sätter in godtyckliga värden för att se om 2b och b^2 kan vara lika

.. Vänta nu vad händer om jag sätter in X+2.

(x+2)(x+2) = x^2 +4X + 4.  2b och b^2 är lika! Så det går.  Men det verkar endast gälla när b = 2 efter att ha experimenterat lite. Ger det här mig någonting egentligen? Jag prövar sätta in X = 1.

Det ger mig 9 = 0. Okej det är totalt fel.. jag får backa lite.

Vi vet redan svaret att x1 = 1. Jag skriver in det.

(1-b)(x-b) 

Varför skriver jag - i paranteserna? Vet faktiskt inte varför. Jag fortsätter ändå.

Vänta när jag tittar på uttrycket så ser jag ju att jag har skrivit samma sak. B är alltid b och X måste då alltid vara 1. Jag är precis i samma linje som i början! Vad fattar jag inte. Återigen så vet jag inte vad jag missuppfattar.

Der börjar snurra i huvudet av alla tankar, hur lång tid har det gått? 2,5 timme. Höll på 1,5 timme igår. Totalt 4 timmar på en enkel fråga för elever som går i 7an, och jag förstår fortfarande ingenting av uppgiften fast jag gjort mitt yttersta för att försöka förstå. Vad bra det känns.

Jag försöker med pq formeln en gång till för det är vad jag lärt mig att jag ska tillämpa i ett sånt här fall. Jag har tidigare konstaterat att B=-0.5 på något sätt. Prövar. 

x = 0.25 +- sqrt(-0,5b)^2 - 0.5 

Vilket resulterar i error då det blir ett negativt värde. Varför gick det inte.. Just ja, det blir 0,25b^2 -0,5 samt att jag glömt att -0.5 blir + 0.5 vid pq formeln. 

En gång till. Sqrt 0.25b^2 + 0.5 

0.25b^2 är.. vänta nu varför har jag b med alls, värdet framför B är ju vad b faktiskt är! Då har vi 0.25^2 = 0.0625 + 0.5. Sqrt0.5626 = 0.75.

Vi har då X = 0.25 +- 0.75.

x1 = 1

x2= -0.5

Jag har två svar!! Då jag kommit fram till x1 = 1 borde X2 faktiskt vara korrekt. Kollar.

-0,5^2 + -0,5*-0.5 -0.5 = 0.

Hm får först -0,5 här igen. Tolkar miniräknaren första värdet på ett annat sätt än vad jag tror? Sätter in i paranteser.

(-0.5)^2 = 0.25 

-0,5*-0.5=0.25.

Vi har då 0.25+0.25 -0,5 = 0.

Jag tror jag kommit fram till rätt svar. Vilket jag hade gjort från första början om jag bara skrivit in första värdet i parantes och räknat med att -(-) blir +.

Dags att koka kaffe.

Stort tack för att du delar med dig av hur dina tankar vandrar runt i olika spår under din kamp med denna uppgift.

Jag är övertygad om att massor av elever känner precis samma sak, att öven de pendlar mellan hopp och förtvivlan, beslutsamhet och uppgivenhet.

En tröst till dig är alltså att du absolut inte är ensam med dessa känslor och jag hoppas att många andra läser ditt inlägg så att också de får känna att de inte är ensamma med dem.

All heder åt dig, ditt tålamod och din envishet. Väldigt bra egenskaper både inom matematiken och i andra sammanhang.

===========

Ett förslag på lösningsmetod utan pq-formeln:.

Vi har ett andragradspolynom $x^2+bx+c$.

Vi vet att $b$ och $c$ är.lika, varför vi kan skriva polynomet som $x^2+bx+b$.

Enligt faktorsatsen så kan vi skriva polynomet som en produkt av faktorer enligt $x^2+bx+b=k\cdot (x-x_1)(x-x_2)$, där $k$ är en konstant och $x_1$ respektive $x_2$ är polynomets nollställen.

Eftersom den ledande koefficienten (dvs koefficienten framför $x^2$-termen) är lika med $1$ så måste $k$ vara lika med $1$.

Vi har alltså att $x^2+bx+b=(x-x_1)(x-x_2)$.

Vi vet att ett av polynomets nollställen är $x=1$, vilket ger oss att $x^2+bx+b=(x-1)(x-x_2)$

Om vi nu multiplicerar ihop högerledets parenteser får vi $x^2+bx+b=x^2-(1+x_2)x+x_2$

För att dessa två polynom ska vara lika för alla möjliga värden på $x$ så måste det gälla dels att $b=-(1+x_2)$, dels att $b=x_2$.

Detta kallas ofta för att "identifiera koefficienter".

Det ger oss att $x_2=-(1+x_2)$, dvs $1+2x_2=0$, dvs $x_2=-\frac{1}{2}$.

Svar: Den andra lösningen är $-\frac{1}{2}$

Kontroll: Eftersom $b=x_2$ så kan polynomet alltså skrivas $x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

Vi prövar om $x=1$ är ett nollställe: $1^2-\frac{1}{2}\cdot1-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$. Det stämmer.

Vi prövar om $x=-\frac{1}{2}$ är ett nollställe: $(-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=0$. Det stämmer.

Hej,

Jag ville bara visa att jag försöker allt jag kan innan jag lyfter en fråga här, och när jag gör det så upplever jag uppgiften som hopplös.

Tack, har inte läst något om den där metoden än eller att använda mig av polynomets nollställen, undra varför den inte står med. Nollproduktsmetoden, pq, kvadratrotsmetoden har dom tagit upp.

Är med men förstår inte det här steget: x2 = (1 +x2) = 1+2x2

Dkcre skrev:

Hej,

Jag ville bara visa att jag försöker allt jag kan innan jag lyfter en fråga här, och när jag gör det så upplever jag uppgiften som hopplös.

Jag förstår, men det du skrev kan även ha andra, kanske oväntade, men positiva sidoeffekter!

Tack, har inte läst något om den där metoden än eller att använda mig av polynomets nollställen, undra varför den inte står med. Nollproduktsmetoden, pq, kvadratrotsmetoden har dom tagit upp.

Är med men förstår inte det här steget: x2 = (1 +x2) = 1+2x2

Det var inte riktigt så jag skrev.

$x_2=-(1+x_2)$

Ta bort parenteserna:

$x_2=-1-x_2$

Addera 1 till båda sidor:

$1+x_2=-x_2$

Addera $x_2$ till båda sidor:

$1+2x_2=0$

Dkcre skrev:

[...]

Tack, har inte läst något om den där metoden än eller att använda mig av polynomets nollställen,

[...]

Du kan läsa om faktorsatsen här.

Nej.. jag skrev fel.

Okej, men hur vet man att 1 ska adderas till båda sidor?

x2 = -1 - x2

2x2 = -1

x2 = -1/2 

Är väl ett korrekt utförande?

Eller det har att göra med att det här inte är en ekvation i den bemärkelsen utan.. ett uttryck för att se när värdet = 0 i en graf? 

Dkcre skrev:

Okej, men hur vet man att 1 ska adderas till båda sidor?

x2 = -1 - x2

2x2 = -1

x2 = -1/2 

Är väl ett korrekt utförande?

Ja, det är rätt.

Eller det har att göra med att det här inte är en ekvation i den bemärkelsen utan.. ett uttryck för att se när värdet = 0 i en graf? 

Nej det var bara det att jag egentligen adderade (1+x₂) till bäda sidor i den första uträkningen..