andragradsekvation

Hej

Jag skulle behöva hjälp med att kontrollera om jag har tänkt rätt i uppgiften.

uppgift:

Lös ekvationen (a−1)x^2 −ax + 1 = 0. Ange det minsta heltalet a sådant att ekvationens alla lösningar är positiva

$x^{2} - \frac{a}{a - 1} x + \frac{1}{a - 1} x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{{(\frac{a}{(2 a - 2)})}^{2} - \frac{1}{2 a - 2}} x = \frac{a}{2 a - 2} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{{(2 a - 2)}^{2}} - \frac{(a - 1) * 2}{(a - 1) * (a - 1) * 2}} x = \frac{a}{2 a - 2} \pm \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a + 2}}{2 a - 2}$

enligt facit ska a = 1 , vilket inte är tillåtet på grund att nämnaren inte kan = 0

Det finns ingen nämnare från början. Om a = 1 är ekvationen 1 - x = 0.

Du har tänkt alldeles rätt men tyvärr har du gjort ett litet fel när du använder dig av pq-formeln, som du ser saknas det att du delar med 2^2 inom diskriminantens första tal. Sedan försökt faktorisera uttrycket och dra roten ur så ska du komma fram till svaret, behöver du fortfarande hjälp kommentera inlägget igen.

Undrar om jag har gjort rätt i pq-formeln ?

$F o r t s ä t t n i n g f r å n t i d i g a r e i n l ä g g x = \frac{a}{2 a - 2} \pm \sqrt{\frac{a^{2} - 2 a + 2}{4 a^{2} - 4 a + 4}} x = \frac{a}{2 a - 2} \pm \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a + 2}}{2 * \sqrt{a^{2} - a + 1}}$

Nej tyvärr, försök börja om eller tillämpa https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/algebra/abc-formeln som motsvarar en förenklad metod av pq! En ledtråd är att täljaren i diskriminanten ska resultera i (a-2)^2 efter förenklingarna.

tänkte höra igen om jag har gjort rätt i pq-formeln

$f o r t s ä t t n i n g i t i d i g a r e i n l ä g g x = \frac{a}{a - 2} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4 (a - 1)^{2}} - \frac{1 (a - 1) 4}{(a - 1) (a - 1) 4}} x = \frac{a}{a - 2} \pm \sqrt{\frac{a^{2} - 4 a + 4}{(2 a - 2)^{2}}} x = \frac{a}{a - 2} \pm \sqrt{\frac{(a - 2)^{2}}{(2 a - 2)^{2}}} x = \frac{a}{a - 2} \pm \frac{(a - 2)}{(2 a - 2)}$

Nästan. -p/2-termen blev inte helt rätt.

$(a - 1) x^{2} - a x + 1 = 0$

Specialfall: a = 1, vilket ger ekvationen 1 - x = 0 med lösningen x = 1

Om vi antar att $a \neq 1$ så kan vi dividera med (a-1) och vi får då ekvationen

$x^{2} - \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{a - 1} = 0$

PQ-formeln ger nu att

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4 {(a - 1)}^{2}} - \frac{1}{a - 1}}$

Gör diskriminanten liknämnig:

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4 {(a - 1)}^{2}} - \frac{4 (a - 1)}{4 {(a - 1)}^{2}}}$

Diskriminanten på samma bråkstreck:

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{a^{2} - 4 (a - 1)}{4 {(a - 1)}^{2}}}$

Förenkla diskriminantens täljare:

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{a^{2} - 4 a + 4}{4 {(a - 1)}^{2}}}$

Diskriminantens täljare blev en jämn kvadrat:

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{{(a - 2)}^{2}}{4 {(a - 1)}^{2}}}$

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \frac{(a - 2)}{2 (a - 1)}$

$x_{1} = \frac{a + (a - 2)}{2 (a - 1)} = \frac{2 a - 2}{2 (a - 1)} = 1$

$x_{2} = \frac{a - (a - 2)}{2 (a - 1)} = \frac{2}{2 (a - 1)} = \frac{1}{a - 1}$

Stort tack för hjälpen !

Yngve skrev:
Nästan. -p/2-termen blev inte helt rätt.

$(a - 1) x^{2} - a x + 1 = 0$

Specialfall: a = 1, vilket ger ekvationen 1 - x = 0 med lösningen x = 1

Om vi antar att $a \neq 1$ så kan vi dividera med (a-1) och vi får då ekvationen

$x^{2} - \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{a - 1} = 0$

PQ-formeln ger nu att

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4 {(a - 1)}^{2}} - \frac{1}{a - 1}}$

Gör diskriminanten liknämnig:

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4 {(a - 1)}^{2}} - \frac{4 (a - 1)}{4 {(a - 1)}^{2}}}$

Diskriminanten på samma bråkstreck:

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{a^{2} - 4 (a - 1)}{4 {(a - 1)}^{2}}}$

Förenkla diskriminantens täljare:

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{a^{2} - 4 a + 4}{4 {(a - 1)}^{2}}}$

Diskriminantens täljare blev en jämn kvadrat:

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \sqrt{\frac{{(a - 2)}^{2}}{4 {(a - 1)}^{2}}}$

$x = \frac{a}{2 (a - 1)} \pm \frac{(a - 2)}{2 (a - 1)}$

$x_{1} = \frac{a + (a - 2)}{2 (a - 1)} = \frac{2 a - 2}{2 (a - 1)} = 1$

$x_{2} = \frac{a - (a - 2)}{2 (a - 1)} = \frac{2}{2 (a - 1)} = \frac{1}{a - 1}$

Men vad ska man dra för slutsats av detta? Uppgiften var ju att bestämma det minsta heltalet a och här har du löst ut x?

Uppgiften gällde
Att ange det minsta heltalet a sådant att ekvationens alla lösningar är positiva

Atta alla lösningar är positiva innebär att det ska gälla att x > 0 för alla de x som löser ekvationen.

Om vi har uttryckt alla möjliga x med hjälp av a så kan vi gå vidare och lösa ut a ur olikheterna x > 0.

Sedan väljer vi det minsta heltalet a som uppfyller olikheterna.

Svara

Visa senaste svar