andragrads komplex ekvation

erik skrev:

har ekvationen z^2-(1+4i)z+3+11=0

Har kvadratkompletterat och även kollat i en räknare på internet att nedan stämmer med ekvaitonen

(z-1/2+2i)^2 = -27/4 -9i

Sedan införs w=a+bi , a,b är reella

w^2 = x^2-y^2 -2xyi

Vilket ger

x^2-y^2=-24/4
2xy=-9

-27/4, inte -6.

Jag tror mig förstå hela processen med dessa och tar därför fram absolutbelopps likheten och får 

x^2 + y^2= sqrt( (-27/4)^2 + 9^2)


Men jag kan för allt i värden inte få rimliga tal för x^2 + y^2
Finns det något sätt att förenkla ovan på. alla andra exempel i bok osv har varit lätta att räkna absolutbelopp men här känns det svårt.

har försökt lite med att 3^3=27 och 3^2 =9 men fortfarande får jag inte bra svar

Jag skulle lösa ut y ur ekvationen 2xy = -9. Sedan kan man sätta in detta uttryck för y i första ekvationen, precis som du lärde dig i Ma2.

Det blir en 4-grads ekvation om sätter in y=(-9/2x) i x^2-y^2=-24/7
Känns svårt att komma någonvart därifrån

För att förtydliga så verkar allt vara korrekt iaf tills införelsen av w i min metod

erik skrev:

Det blir en 4-grads ekvation om sätter in y=(-9/2x) i x^2-y^2=-24/7
Känns svårt att komma någonvart därifrån

Hur blir det om du sätter t = x²?

erik skrev:

har ekvationen z^2-(1+4i)z+3+11=0

Har kvadratkompletterat och även kollat i en räknare på internet att nedan stämmer med ekvaitonen

(z-1/2+2i)^2 = -27/4 -9i

Sedan införs w=a+bi , a,b är reella

w^2 = x^2-y^2 -2xyi

Vilket ger

x^2-y^2=-24/4
2xy=-9

Jag tror mig förstå hela processen med dessa och tar därför fram absolutbelopps likheten och får 

x^2 + y^2= sqrt( (-27/4)^2 + 9^2)


Men jag kan för allt i värden inte få rimliga tal för x^2 + y^2
Finns det något sätt att förenkla ovan på. alla andra exempel i bok osv har varit lätta att räkna absolutbelopp men här känns det svårt.

har försökt lite med att 3^3=27 och 3^2 =9 men fortfarande får jag inte bra svar

om du vill bestämma 

$\sqrt{\frac{-27}{4}-9i}$

gör ansatsen w = a+bi = $\sqrt{\frac{-27}{4}-9i}$

vilket ger w² = a²-b²+2abi = $\frac{-27}{4}-9i$

Då har vi att (Edit: vi tittar enbart på realdelen)
1: a²-b² = -27/4

(Edit: Här hade jag glömt rottecknen)
Sen beräknar vi absolutbeloppet för w² = $\sqrt{\frac{{27}^2}{16}+81} = \sqrt{\frac{2025}{16}}$=45/4

vilket ger att w har absolutbeloppet $\sqrt{\frac{45}{4}}$varav följer:
ekv 2: 45/4 = a²+b²

addera ekv 1 och ekv 2 ledvis

2a² = (45-27)/4 

Sen kan du enkelt lösa ut a och b

Tack så mycket, tror jag har det nu!