Andragrads Diff Ekvation. Varför cos(x) ?

Du har kommit fram till att A = 0 och att B = 1. Är du bekväm med det?

Gå tillbaka till början. Vad gjorde du för ansättning? Vad betyder B?

Det var inte jag som gjorde detta så jag har inte full koll på hur man väljer ansättning till sånna här uppgifter.

När jag har förstått denna uppgift så ska jag börja lösa uppgifter själv så förklara gärna hur man hittar en/alla partikulärlösning(ar).

Du har diffekvationen $y"-2y*+y=2\sin(x)$. Eftersom HL är en trigonometrisk funktion, är det vettigt att gissa på att ursprungsfunktionen är en sinus-funktion, en cosinus-funktion eller en summa av båda sorterna (eftersom en cosinusfunktion blir en sinusfunktion när man deriverar den och tvärtom). Det är alltså ett smart drag att gissa på att ursprungsfunktionen är $y_p=A\sin(x)+B\cos(x)$ Detta kallas att vi gör ansatsen $y_p=A\sin(x)+B\cos(x)$. Derivera denna funktion två gånger och sätt in funktionen och derivatorna i den ursprungliga diffekvationen. Jag upprepar inte derivatorna här, de finns på pappret. Om man sätter in dem i diffekvationen och förenklar, får man att $2B\sin(x)-2A\cos(x)=2\sin(x)$. För att detta skall stämma för alla värden på $x$ krävs det att koefficienterna för sinus-respektive cosinustermerna är lika i VL och i HL, d v s att $B=1$ och $A=0$. Om man sätter in dessa värden i ansatsen $y_p=A\sin(x)+B\cos(x)$ får vi att $y_p=cos(x)$. 

En bra vana är att derivera funktionen man har kommit fram till (2 ggr) och sätta in i diffekvationen och kolla så att det stämmer.

Är detta svar på dina frågor?

Ja utom kanske "En bra vana är att derivera funktionen man har kommit fram till (2 ggr) och sätta in i diffekvationen och kolla så att det stämmer." Menar du derivera i det här fallet cosx två gånger och sätta in i orginal diffekvationen?

Vad händer om det står en kombination av ett polynom och en trigonometrisk funktion i den delen man tidigare har satt till 0? 

Eller om det är lnx ? Jättebra förklaring annars.

I det här fallet menar jag att du skall derivera funktiononen $y=cos(x)$ två gånger, sätta in funktionen, förstaderivatan och andraderivatan i vänsterledet i ekvationen $y"-2y'+y=2\sin(x)$ och kontrollera att det blir lika med högerledet i ekvationen, d v s $2\sin(x)$. Gör likadant med den homogena lösningen också - alternativt gör det på hela funktionen $y=y_h+y_p$ samtidigt.

ok

det verkar stå i min bok att om det är en kombination av olika saker i högerledet hittar man en partikulärlösning för varje term för sig och adderar på slutet.

Det finns ju såklart generella ansättningar man kan göra beroende på hur "högerledet" ser ut (kombination av trigonometriska funktioner och exponentialfunktionen exempelvis), dessa är bra att memorera för att veta vad du ens vill ansätta. Om du ansätter fel kan det dröja ett tag innan du upptäcker att det blir knas, och det kanske känns lite onödigt ibland. De är inte alltför många eller svåra att memorera (notera hur det blir om någon av dina partikulär lösningar redan finns i det homogena fallet!).

ok jag ska leta efter en lista på vanliga ansättningar och om det är en blandning så delar jag upp uppgiften enligt "superposition principle".