13 svar

138 visningar

T1997 behöver inte mer hjälp

Andragradare med imaginär del

Sitter med en fråga och kört fast helt. Frågan lyder;

Lös ekvationen:

6z^2+(5+18i)z-1-3i=0

Ange även argument och absolutbelopp till lösningarna, i decimalform med två decimaler, samt rita in rötterna i det komplexa talplanet.

Början på min lösning:

$6 z^{2} + (5 + 18 i) z + (- 1 - 3 i) = 0 z^{2} + \frac{(5 + 18 i) z}{6} - \frac{1}{6} - \frac{3 i}{6} = 0 K v a d r a t k o m p l e t t e r a r (z + \frac{5 + 18 i}{12})^{2} = {(\frac{5 + 18 i}{12})}^{2} + \frac{1}{6} + \frac{3 i}{6} R ä k n a r u t d e t t i l l . . (z + \frac{5 + 18 i}{12})^{2} = \frac{- 275}{144} + \frac{252 i}{144} S ä t t e r w^{2} = \frac{- 275}{144} + \frac{252 i}{144} V ä l j e r a t t s ä t t a w^{2} = x + i y v i l k e t g e r {(x + i y)}^{2} = \frac{- 275}{144} + \frac{252 i}{144} x^{2} - y^{2} + i 2 x y = \frac{- 275}{144} + \frac{252 i}{144} D e t t a g e n e r e r a r e n r e e l l e k v a t i o n o c h e n i m a g i n ä r e k v a t i o n 1) x^{2} - y^{2} = \frac{- 275}{144} 2) i 2 x y = \frac{252 i}{144} v i l k e t g e r 2 x y = \frac{252}{144} S ö k e r d ä r e f t e r e n t r e d j e e k v a t i o n g e n o m a t t r ä k n a u t a b s o l u t b e l o p p e t f ö r w = \sqrt{x^{2} + y^{2}} |w| = {|\frac{- 275}{144} + \frac{252 i}{144}|}^{2} = \sqrt{\frac{75625}{20736} - \frac{63504}{20736}} = \sqrt{\frac{12121}{20736}} V i l k e t g e r m i g e n t r e d j e e k v a t i o n 3) x^{2} + y^{2} = \sqrt{\frac{12121}{20736}} N ä s t a s t e g b o r d e v a r a a t t a d d e r a e k v a t i o n 1) o c h 3)$

Men mina siffror börjar kännas galna. Som att det inte stämmer. Borde vara renare siffror... Har jag valt fel metod? Eller är det ngt räknefel..?

Varför använder du inte pq?

Jag får då med pq att z = 1/6 och z = -1 - 3i med pq.

tensor skrev :
Varför använder du inte pq?
Jag får då med pq att z = 1/6 och z = -1 - 3i med pq.

Bra fråga! Min lärare uppskattar en längre väg där man visar alla steg mer noggrant. (Dvs krångligare för mig ;)) Endast pq-formel accepteras inte tyvärr.... Men tack för hjälpen. Får kanske omvärdera mitt val av metod..

Hur som helst, i ditt steg

${(z + \frac{5 + 18 i}{12})}^{2} = \frac{- 275}{144} + \frac{252 i}{144}$

Kan du bara ta roten ur på bägge led, du hade gjort samma sak med pq-formeln i princip.

Efter att du tagit roten ur på bägge sidor hade du erhållit

$z + \frac{5 + 18 i}{12} = \pm \frac{7 + 18 i}{12}$ .

Det finns ingen anledning till att introducera någon ny variabel enligt mig.

En fråga bara.. Hur får du roten ur 275 till 7..? Samma med roten ur 252 till 18..? Ngt steg jag missat?

Ansätt w = a + bi och beräkna $(a + bi)^2 = -275 + 252i$ och sätt realdelarna respektive imaginärdelarna lika. Du får ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta, så det är lösbart.

smaragdalena skrev :
Ansätt w = a + bi och beräkna $(a + bi)^2 = -275 + 252i$ och sätt realdelarna respektive imaginärdelarna lika. Du får ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta, så det är lösbart.

Det där börjar låta bekant med det min lärare pratade om. Och visst har jag gjort det du menar i mina ekvationer 1) och 2)..? Men är fortfarande inte med på lösningen i nästa led. Skulle du vilja hjälpa mig lite på traven...?

1. Vad blir $(a + bi)^2$ ? Vad blir realdelen? Vad blir imaginärdelen?

2. Realdelen = -275 Imaginärdelen = 252 Lös ekvationssystemet.

T1997 skrev :
smaragdalena skrev :
Ansätt w = a + bi och beräkna $(a + bi)^2 = -275 + 252i$ och sätt realdelarna respektive imaginärdelarna lika. Du får ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta, så det är lösbart.
Det där börjar låta bekant med det min lärare pratade om. Och visst har jag gjort det du menar i mina ekvationer 1) och 2)..? Men är fortfarande inte med på lösningen i nästa led. Skulle du vilja hjälpa mig lite på traven...?

Du borde ta en titt här; http://www.qc.edu.hk/math/Advanced%20Level/Finding%20the%20square%20root%20of%20a%20complex%20number.htm

tensor skrev :
T1997 skrev :
smaragdalena skrev :
Ansätt w = a + bi och beräkna $(a + bi)^2 = -275 + 252i$ och sätt realdelarna respektive imaginärdelarna lika. Du får ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta, så det är lösbart.
Det där börjar låta bekant med det min lärare pratade om. Och visst har jag gjort det du menar i mina ekvationer 1) och 2)..? Men är fortfarande inte med på lösningen i nästa led. Skulle du vilja hjälpa mig lite på traven...?
Du borde ta en titt här; http://www.qc.edu.hk/math/Advanced%20Level/Finding%20the%20square%20root%20of%20a%20complex%20number.htm

Precis det där jag menar. Kanske en bristande förklaring från min sida. Lyckas bara inte applicera det på mina siffror. Men det löser sig nog

Följ de instruktioner jag skrev lite högre upp. Visa dina siffror här (åtminstone om du kör fast).

smaragdalena skrev :
Följ de instruktioner jag skrev lite högre upp. Visa dina siffror här (åtminstone om du kör fast).

${(a + b i)}^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 b a i$

Ger

$R e : a^{2} - b^{2} = \frac{- 275}{144} I m : 2 a b = \frac{252}{144}$

Hit kom jag ju innan. Men sen låser det sig. Har försökt att skriva Imdelen som

$a = \frac{252}{288 b}$

För att sedan sätta in det i den reella delen och lösa b, men det snurrar till sig

T1997 skrev :
smaragdalena skrev :
Följ de instruktioner jag skrev lite högre upp. Visa dina siffror här (åtminstone om du kör fast).
${(a + b i)}^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 b a i$
Ger
$R e : a^{2} - b^{2} = \frac{- 275}{144} I m : 2 a b = \frac{252}{144}$
Hit kom jag ju innan. Men sen låser det sig. Har försökt att skriva Imdelen som
$a = \frac{252}{288 b}$
För att sedan sätta in det i den reella delen och lösa b, men det snurrar till sig

Om vi utgår ifrån början, såhär långt hade du kommit

$z + \frac{5 + 18 i}{12} = \pm \sqrt{\frac{- 275}{144} + \frac{252 i}{144}} = \pm \frac{1}{12} \sqrt{- 275 + 252 i} z = \frac{5 + 18 i}{12} \pm \frac{1}{12} \sqrt{- 275 + 252 i}$

Vi låter

$w^{2} = (a + b i)^{2} = - 275 + 252 i (a^{2} - b^{2}) + 2 a b i = - 275 + 252 i$

Jämför vi realdel och imaginär del har vi

$(1) : a^{2} - b^{2} = - 275 (2) : 2 a b = 252$

Om vi kollar på $| w |^{2} = |w^{2}|$ (kom ihåg att $w = a + b i$ ) så har vi

$a^{2} + b^{2} = \sqrt{{(- 275)}^{2} + 252^{2}} = 373 a^{2} = 373 - b^{2}$

Sätt in resultatet i (1) och sedan i (2). Du har nu ditt a och b, nu kan du konstruera ditt w = a + bi.

tensor skrev :
T1997 skrev :
smaragdalena skrev :
Följ de instruktioner jag skrev lite högre upp. Visa dina siffror här (åtminstone om du kör fast).
${(a + b i)}^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 b a i$
Ger
$R e : a^{2} - b^{2} = \frac{- 275}{144} I m : 2 a b = \frac{252}{144}$
Hit kom jag ju innan. Men sen låser det sig. Har försökt att skriva Imdelen som
$a = \frac{252}{288 b}$
För att sedan sätta in det i den reella delen och lösa b, men det snurrar till sig
Om vi utgår ifrån början, såhär långt hade du kommit
$z + \frac{5 + 18 i}{12} = \pm \sqrt{\frac{- 275}{144} + \frac{252 i}{144}} = \pm \frac{1}{12} \sqrt{- 275 + 252 i} z = \frac{5 + 18 i}{12} \pm \frac{1}{12} \sqrt{- 275 + 252 i}$
Vi låter
$w^{2} = (a + b i)^{2} = - 275 + 252 i (a^{2} - b^{2}) + 2 a b i = - 275 + 252 i$
Jämför vi realdel och imaginär del har vi
$(1) : a^{2} - b^{2} = - 275 (2) : 2 a b = 252$
Om vi kollar på $| w |^{2} = |w^{2}|$ (kom ihåg att $w = a + b i$ ) så har vi
$a^{2} + b^{2} = \sqrt{{(- 275)}^{2} + 252^{2}} = 373 a^{2} = 373 - b^{2}$
Sätt in resultatet i (1) och sedan i (2). Du har nu ditt a och b, nu kan du konstruera ditt w = a + bi.

Tusen tack! Tänkte inte på att man kunde bryta ut 1/12. Det gjorde det mycket enklare. Tacktack!

Svara

Visa senaste svar