Andraderivatan, bestämma extrempunkter
Halloj! Just nu arbetar vi med andraderivatan i matten, och jag förstår själva beräkningen väl – det handlar ju bara om att derivera två gånger. Tidigare har vi använt teckentabeller för att bestämma extrempunkter, men nu har vi lärt oss en metod där vi använder andraderivatan enligt receptet nedan.
Jag kan receptet utantill, men jag har svårt att förstå varför metoden fungerar. Varför är det just förstaderivatans nollställen som vi sätter in i andraderivatan för att bestämma om en punkt är en maximi- eller minimipunkt (eller extrempunktens koordinater generellt sätt?)? En enkel förklaring hade varit till stor hjälp!
Recept för att bestämma extrempunkter med andraderivatan:
- Derivera funktionen.
- Sätt förstaderivatan = 0 och lös ut nollställena.
- Derivera förstaderivatan (dvs. beräkna andraderivatan). Sätt in de x-värden du fick i steg 2 i andraderivatan.
- Om andraderivatan är positiv → minimipunkt. Om andraderivatan är negativ → maximipunkt.
Tack på förhand!
Du har helt rätt. Anledningen till att det fungerar är, häng med nu, (vi tar ett maxima först), att vid ett maxima så har vi en uppförsbacke innan maxpunkten o en nedförsbacke efter.
Om vi funderar på hur derivatan ser ut kommer den att vara positiv i uppförsbacken men minska för att vara noll just i maxpunkten o sen bli negativ o öka i nedförsbacken. OK?
Den är alltså typ minskande hela tiden: mkt postitiv... lite positiv... noll... lite negativ... mera negativ. OK?
Då derivatans derivata (alltså andra derivatan) är negativ, minskande.
Det finns specialfall men de skippar vi just nu, detta är det generalla fallet.
För minima är det precis tvärtom. OK?
Jajamän, jag hänger med på allt du förklarade! Det jag fortfarande inte riktigt förstår är varför just andraderivatan är relevant i det här receptet, och varför nollställena för den första derivatan används i andraderivatan för att hitta extrempunkternas y-värden. Alltså, hur ger andraderivatan oss koordinaterna för extrempunkterna i den ursprungliga funktionen? Det finns säkert något samband som jag inte ser/vet om.
Svarar eftersom matstnilsson är offline.
Andraderivatans värde ger oss inte vare sig x- eller y-koordinater för de stationära punkterna.
Det är fortfarande så att x-koordinaterna för funktionens stationära punkter ges av förstaderivatans nollställen och att motsvarande y-koordinater ges av funktionsvärdena vid dessa punkter.
Det som andraderivatans värde kan hjälpa till med är (i detta fallet) endast att på ett enkelt sätt se att en stationär punkt är en minimi- eller mximipunkt.
Men testet är inte heltäckande. Om andrderivatans värde är lika med 0 så vet vi fortfarande inte vilken karaktär den stationära punkten har. Det kan då vara antingen en minimi-, en maximi- eller en terrasspunkt.
OK! Skulle vi kunna titta på en uppgift om detta för att tydliggöra det ytterligare? Uppgiften lyder: Vi har funktionen y=2x3+3x2−12x+8
a) Bestäm y′′ för de x-värden som ger y′=0
b) Ange funktionens lokala extremvärden.
c) Rita grafen som kontroll.
I a) fick jag rätt svar genom att följa receptet. Men i b) ska jag sätta in derivatans nollställens x-värden i den ursprungliga funktionen. Varför just i den? Och varför var det i andraderivatan i a) men i den ursprungliga funktionen i b)? Jag trodde att extremvärdena i b) skulle vara desamma som vi fick i a) vilket är fel. Jag har också svårt att lösa c) och skulle gärna vilja ha hjälp med det.
Dr.scofield skrev:[...]
I a) fick jag rätt svar genom att följa receptet. Men i b) ska jag sätta in derivatans nollställens x-värden i den ursprungliga funktionen. Varför just i den?
Exttempunkterna ligger på grafen till funktionen. Därför är extrempunkternas y-värden, dvs extremvärdena, lika med funktionsvärdena vid dessa punkter.
Det är därför du ska sätta in x-värdena i den ursprungliga funktionen.
Och varför var det i andraderivatan i a) men i den ursprungliga funktionen i b)?
Det är två olika saker. Andraderivatans värde hjälper oss att avgöra om den stationära punkten är.en minimi- eller maximipunkt. Funktionens värde bestämmer självabextremvärdet.
Jag trodde att extremvärdena i b) skulle vara desamma som vi fick i a) vilket är fel. Jag har också svårt att lösa c) och skulle gärna vilja ha hjälp med det.
b-uppgiften ger inga extremvärden, bara information om extremvärdet är.en minimi- eller maximipunkt:
- Om andraderivatan är negativ så är den stationära punken en maximipunkt.
- Om andrderivatan är positiv så är den stationär punkten en minimipunkt.
För att lösa c-uppgiften behöver du skissa grafen. Använd då gärna något digitalt hjälpmedel, typ grafräknare, Geogebra, Desmos eller liknande.
ooookej! Tack ska du ha för hjälpen!
Har du verkligen fått svar på dina frågor? Det känns inte riktigt så och jag vill inte släppa dig innan vi är där.
Bara så att du vet, det är inget som helst problem att du ställer massor med följdfrågor, det viktiga är att du verkligen får klart för dig hur det hänger ihop.
Ibland kan det gå långsamt med hjälp via trådar i forumet, då är Mattecentrums räknestugor eller Livehjälpen här på PA mycket bra alternativ. Har du möjlighet att använda någon av dessa resurser?
Tack för din omtanke! Jag uppskattar det verkligen. Jag känner att jag har fått en del klarhet, men jag har nog några ytterligare funderingar som jag skulle vilja reda ut. Har däremot lagt matten på sidan om nu för att plugga inför ett kommande kemiprov. Ska definitivt ta en titt på Mattecentrums räknestugor och Livehjälpen! Jag återkommer gärna om jag behöver mer stöd. Tackar dig återigen Yngve.
Dr.scofield skrev:[...]
Jag återkommer gärna om jag behöver mer stöd.
Jättebra! Du är mer än välkommen.
