Andraderivata och utseende på (kontinuerliga?) funktioner
God morgon, Pluggakuten!
Jag har en fundering kring andraderivata och vad andraderivatan innebär för en funktion. Att förstaderivatan anger lutningen till tangenten i en punkt på grafen är inga konstigheter. Om man skulle grafa förstaderivatan och derivera den en gång till får man alltså lutningen till tangenten på derivatagrafen. So far so good.
Men hur denna sedan kan användas för att förutspå konkavitet och konvexitet lyckas jag inte riktigt greppa. Det jag inser är att om , måste förstaderivatagrafen öka i lutning i intervallet, vilket medför att den spottar ut högre y-värden ju längre åt höger man rör sig (dvs. högre lutning på ) i intervallet. Stämmer det? Samma resonemang skulle jag då använda för när för konkavitet.
Men vad händer när ? Jag förstår inte varför detta innebär en potentiell inflexionspunkt.
Det intressanta är inte bara att andraderivatan är t.ex. negativ, utan att den är det just där förstaderivatan är noll.
Då minskar ju förstaderivatan, vilket (runt nollan, alltså) betyder att den går från positiv (växande funktion) till negativ (avtagande funktion).
Andraderivatan är väl inte nödvändigtvis negativ på samma ställe som förstaderivatan är 0? Om vi tar exempelvis så skulle och . Men andraderivatan är ju negativ i hela intervallet . Eller menar du att andraderivatan blir negativ precis på samma ställe som förstaderivatan blir negativ?
Det är oftast när förstaderivatan är 0 som man undersöker andraderivatan. Nej, för det mesta är inte andraderivatan 0 när förstaderivatan är 0 (men det händer ibland).
Bubo skrev:Det intressanta är inte bara att andraderivatan är t.ex. negativ, utan att den är det just där förstaderivatan är noll.
Då minskar ju förstaderivatan, vilket (runt nollan, alltså) betyder att den går från positiv (växande funktion) till negativ (avtagande funktion).
Jag menar
OM andraderivatan är negativ just där förstaderivatan är noll ...
...då minskar ju förstaderivatan FRÅN ett positivt värde TILL ett negativt värde.
