Andraderivata
Halloj!
Gör en uppgift från ett gammalt nationellt prov:
Fredrik och Gustav deltar i samma cykellopp. Loppet är 90 km långt. Fredrik håller jämn fart hela loppet medan Gustavs fart varierar. Man kan förenklat beskriva den sträcka (i km) de har cyklat med funktionerna: f(t)= 30t och g(t)= t^3-6t^2+37,8t där t är tiden i timmar efter start. Fredrik och Gustav startar samtidigt. Fredrik går i mål först. Han passerar mållinjen precis 3 timmar efter start. Hur lång tid efter start är avståndet mellan Fredrik och Gustav störst och hur långt är avståndet mellan dem då?
Hittills har jag:
Skrivit funktionen h(t)=t^3-6t^2+7,8t
För att sedan derivera den: h'(t)=3t^2-12t+7,8
Sätter sedan h'(t)=0 och får t1=3.18 och t2=0.817. t1 är ju inte reell i och med att Fredrik då gått i mål. Tänkte sedan att jag då tar andra derivatan h''(t)=6t-12. Sätter jag in den reella roten t=0.817 blir andraderivatan negativ och bör därmed vara en maximipunkt. Som jag har förstått det bör jag däremot undersöka även intervallets gränser, 0 blir ju inte intressant men därmed t=3. Varför det? Och hur kommer det sig att jag får en negativ andraderivata för t=0.817 om det nu inte är maximipunkten (har förstått att det är vid t=3 som den största skillnaden är).
Tack!
Jag har inte kontrollerat dina beräkningar, men du har ställt upp h(t) = g(t)-f(t), dvs ett uttryck för Gustavs cyklade sträcka minus Fredriks cyklade sträcka, dvs ett uttryck för.hur långt framför Fredrik Gustav är.
Avståndet mellan cyklisterna är istället |h(x)| och det är det maximala värdet av detta uttryck som eftersöks.
Skissa grafen till y = h(t) från t = 0 till t = 3 så blir det nog tydligt.
Fattar inte riktigt vad du menar att h(x) ska vara? Har strecken du skrivit vid sidan om h(x) något betydelse för det?
Är du med på att h(t) = g(t)-f(t)?
Vad tycker du själv att h(t) beskriver?
De vertikala strecken runt h(t) indikerar absolutbelopp. Känner du till det begreppet?
I mitt fall satte jag funktionerna lika med varandra, så så som du skriver det (vilket också var det jag gjorde) så är det väl då så långt gustav har cyklat-så långt fredrik har cyklat. Så det borde väl som du säger stå för hur långt framför fredrik gustav är. Hur uttrycker man i sådana fall skillnaden mellan hur långt de har cyklat om inte som den fredrik-gustav alt gustav-fredrik?
Absolutbelopp ar dykt upp någon gång snabbt. Har för mig att det har att göra med värdet till 0 från ett visst tal?
visalund skrev:I mitt fall satte jag funktionerna lika med varandra, så så som du skriver det (vilket också var det jag gjorde) så är det väl då så långt gustav har cyklat-så långt fredrik har cyklat. Så det borde väl som du säger stå för hur långt framför fredrik gustav är. Hur uttrycker man i sådana fall skillnaden mellan hur långt de har cyklat om inte som den fredrik-gustav alt gustav-fredrik?
Man kan göra det med hjälp av just absolutbelopp.
Har du läst avsnittet jag länkade till?
====
Men vi behöver inte använda absolutbelopp här.
Det räcker att konstatera att om h(t) är positiv så ligger Gustav före och om h(t) ärnegativ så ligger Fredrik före.
Och att sedan helt enkelt beräkna och jämföra vördena av h(t) vid de tre intressanta punkterna: t = 0, t = 3 och det t som uppfyller h'(t) = 0.
Varför anses t=0 och t=3 som intressanta punkter?
Men precis, det var lite så jag tänkte när jag ställde upp funktionen, att det skulle gå att se mha den. Har inte läst om absolutbelopp men kan ju göra det så jag får lite koll inför NP oavsett.
Min huvudsakliga fråga i det hela är dock varför jag får svaret att det ska finnas en maximipunkt där t=0.817, vilket är den reella roten till h'(t), när det verkar som att det är i t=3 värdet är som störst?
visalund skrev:Min huvudsakliga fråga i det hela är dock varför jag får svaret att det ska finnas en maximipunkt där t=0.817, vilket är den reella roten till h'(t), när det verkar som att det är i t=3 värdet är som störst?
Den punkt du har hittat är en lokal maxpunkt för h(t), dvs du har hittat den punkt där Gustav ligger som längst före Fredrik.
Men det som efterfrågas är inte nör Gustav ligger som längst före Fredrik utan istället när avståndet mellan Gustav och Fredrik är som störst (och hur långst avståndet mellan dem då är).
========
Vi tänker bort komplexiteten med absolutbelopp och betraktar istället ett enklare problem ett litet slag:
Bestäm det största värdet funktionen antar i intervallet
Om du ritar grafen till I det givna intervallet så ser du att det största värdet antas vid , inte vid den lokala maximipunkten .
Det räcker alltså inte att bara lösa ekvationen och konstatera att det är en lokal maxpunkt.
Situationen är liknande för cykelproblemet. Utöver att kontrollera funktionsvärdet vid likala min- och maxpunkter så måste du även titta på funktionsvärdet vid intervallets ändpunkter.
Aha, jag fattar! Blev tydligt när jag ritade upp grafen, antar då att det är eftersom grafen är stigande mot slutet så högre värden än maximipunkten därmed kan antas? Tack för hjälpen!
Ja det stämmer.
Det är ofta väldigt bra att skissa grafer för att få ett bra tankestöd.
Exempelvis ser grafen till h(t) I cykelproblemet ut så här:
Det som efterfrågas är det största avståndet mellan Gustav och Fredrik, vilket är samma sak som det största avståndet från grafen till t-axeln (här kommer tolkningen av absolutbelopp som avstånd in).
Vi ser att detta största avstånd är i slutet av intervallet, dvs då t = 3.
Jag fattar! Det enda jag undrar är hur jag ska veta i vilka uppgifter det är relevant att studera intervallets ändpunkter och i vilka man enbart ska fokusera på maximi/minimi. Hittills är detta den första uppgiften jag stött på där det varit relevant att studera även ändpunkterna
