Andraderivata
Är andraderivatan negativ i graf 1? Jag har förstått det som att negativ andraderivata ger oss en maximipunkt på den vanliga funktionen. Men hur går det till? Jag får det till att derivatan får en maximipunkt.
Du har en otydlig fråga
Vilka förutsättningar gäller och vad vill du veta ?
För x = 0 är andraderivatan 0 (och tredjederivatan för f negativ). Detta innebär att derivatan har ett maximum (och att f (som då är en tredjegradsfunktion) har en sadelpunkt (eller inflexionspunkt))
Andraderivatan i din figur är positiv för x < 0 och negativ för x > 0.
När du använder andraderivatatestet så ska f’ vara 0 i punkten, annars ger testet inget. Dessutom får inte f’’ vara noll där. Testet funkar så här:
Vi har f(x) som du deriverat och konstaterat att f’(a) = 0. Antag att f’’(a) < 0. Om inte andraderivatan gör några konstiga hopp så kommer den också vara negativ i någon liten omgivning till a.
Då kan vi göra teckenschema:
x: a
f’’ – – –
f’ avt 0 avt
Om f’ avtar till 0 och sedan fortsätter att avta så måste f’ vara positiv till vänster och negativ till höger om a, dvs
f’ + 0 –
f väx avt
Dvs f har max för x = a.
Det är viktigt att komma ihåg villkoren. Om f’(a) = 0 och f’’(a) < 0 så f(a) maximum.
Om f’(a) = 0 och f’’(a) > 0 så f(a) minimum.
I ditt exempel var f’’(a) = 0 och då är andraderivatatestet värdelöst.
En god regel tycker jag är att för det mesta strunta i andraderivatatestet och i stället göra teckenstudium av f’. Men inte alltid.
Tack Mogens för ditt detaljerade svar. Tack till er andra också!
