Andraderivata

Vill du ha ett formellt bevis eller en förklaring? :) Om det är en förklaring du söker, kika på vad som händer när du närmar dig en max- respektive minimipunkt:

Maxpunkt: När vi närmar oss en maxpunkt (vi går från vänster till höger) kommer derivatan att vara positiv, avta, bli noll, och sedan fortsätta minska efter toppen av funktionens graf. Derivatan har alltså gått från starkt positiv till noll till starkt negativ. Det innebär att derivatan har minskat och (eftersom andraderivatan visar förändringshastigheten hos derivatan) därmed visar andraderivatan ett negativt värde i punkten. 

Kan du göra något liknande för en minimipunkt?

pepparkvarn skrev:

Vill du ha ett formellt bevis eller en förklaring? :) Om det är en förklaring du söker, kika på vad som händer när du närmar dig en max- respektive minimipunkt:

Maxpunkt: När vi närmar oss en maxpunkt (vi går från vänster till höger) kommer derivatan att vara positiv, avta, bli noll, och sedan fortsätta minska efter toppen av funktionens graf. Derivatan har alltså gått från starkt positiv till noll till starkt negativ. Det innebär att derivatan har minskat och (eftersom andraderivatan visar förändringshastigheten hos derivatan) därmed visar andraderivatan ett negativt värde i punkten. 

Kan du göra något liknande för en minimipunkt?

Tack, förstår det blir så. Skulle vilja ha typ någon form av bevis om det finns?

Det finns absolut, men jag kommer inte på exakt hur det ska bevisas. Beviset borde likna beviset för att derivatan är noll i en extrempunkt, kombinerat med ovan nämnda, mer informella bevis. :)

Kan inte detta räcka som bevis:

• Om förstaderivatan är noll i en punkt, så är funktionen där stationär.

• Om andraderivatan i punkten är större än noll, så är förstaderivatan där växande.

• Förstaderivatan är i så fall negativ i en omgivning t v om punkten
    och positiv i en omgivning t h om den.

• En sådan stationär punkt kallar vi minimipunkt.

Och motsvarande för en maximipunkt.

Rita!

Ok! Tack!