Andraderivata
Är det någon som skulle kunna illustrera skillnaden mellan första och andraderivatan i en graf?
Jag förvirrar mig lite på andraderivatan. Hur lutningen ändras, men har trots det svårt att förstå vad det egentligen säger. Varför går det inte använda förstaderovatan till att bestämma extrempunkter?
All hjälp uppskattas!
Först och främst, det är förstaderivatan som används för att bestämma extrempunkternas placering. Däremot kan förstaderivatan inte användas för att bestämma karaktären hos extrempunkter.
Till huvudfrågan: Förstaderivatan berättar hur grafens värde förändras i en viss punkt, alltså om lutningen för en tangent i punkten är positiv, noll eller negativ, samt hur stor lutningen är exakt. Om du gör en graf över sträckan en bil kört, är förstaderivatan bilens hastighet.
Andraderivatan berättar hur fort (samt åt vilket håll) förstaderivatan förändras. Om tangenten (och därmed kurvan) slutar luta lika brant blir andraderivatan negativ, medan andraderivatan blir positiv om tangenten (och därmed kurvan) blir brantare och brantare. Om vi använder samma exempel som i stycket ovan, är andraderivatan bilens acceleration, alltså hur snabbt hastigheten (som var förstaderivatan) förändras.
Av denna anledning kan andraderivatan användas för att bestämma karaktären hos en extrempunkt, alltså om punkten är en minimi-, max- eller terasspunkt:
- Om det är en minimipunkt kommer förstaderivatan att vara negativ, men bli mindre och mindre negativ allteftersom vi närmar oss minimipunkten, där den är noll. Efter att vi passerat minimipunkten blir förstaderivatan större och större. Alltså kommer förändringen i derivatan i hela situationen att innebära en ökning, och vi får en positiv andraderivata.
- Om det är en maxpunkt kommer förstaderivatan att börja som positiv, men bli mindre och mindre, och sedan bli noll i maxpunkten, varpå förstaderivatan vänder och blir negativ. Genom hela situationen minskar förstaderivatan, och vi får en negativ andraderivata.
- Om det är en terasspunkt kan vi antingen ha en nedåt- eller uppåtgående kurva (åtminstone i närområdet). Det spelar dock ingen roll. Förstaderivatan minskar fram till terasspunkten, varpå den sedan ökar igen eller vice versa. Skillnaden här är dock att förstaderivatan hela tiden håller sig större än eller lika med noll (eller mindre än eller lika med noll). Det innebär att andraderivatan blir lika med noll. Dock måste vi alltid dubbelkolla med någon annan metod att det verkligen rör sig om en terasspunkt, eftersom några grafers andraderivata är lika med noll i vissa punkter utan att de har en terasspunkt.
Smutstvätt skrev:Först och främst, det är förstaderivatan som används för att bestämma extrempunkternas placering. Däremot kan förstaderivatan inte användas för att bestämma karaktären hos extrempunkter.
Till huvudfrågan: Förstaderivatan berättar hur grafens värde förändras i en viss punkt, alltså om lutningen för en tangent i punkten är positiv, noll eller negativ, samt hur stor lutningen är exakt. Om du gör en graf över sträckan en bil kört, är förstaderivatan bilens hastighet.
Andraderivatan berättar hur fort (samt åt vilket håll) förstaderivatan förändras. Om tangenten (och därmed kurvan) slutar luta lika brant blir andraderivatan negativ, medan andraderivatan blir positiv om tangenten (och därmed kurvan) blir brantare och brantare. Om vi använder samma exempel som i stycket ovan, är andraderivatan bilens acceleration, alltså hur snabbt hastigheten (som var förstaderivatan) förändras.
Av denna anledning kan andraderivatan användas för att bestämma karaktären hos en extrempunkt, alltså om punkten är en minimi-, max- eller terasspunkt:
- Om det är en minimipunkt kommer förstaderivatan att vara negativ, men bli mindre och mindre negativ allteftersom vi närmar oss minimipunkten, där den är noll. Efter att vi passerat minimipunkten blir förstaderivatan större och större. Alltså kommer förändringen i derivatan i hela situationen att innebära en ökning, och vi får en positiv andraderivata.
- Om det är en maxpunkt kommer förstaderivatan att börja som positiv, men bli mindre och mindre, och sedan bli noll i maxpunkten, varpå förstaderivatan vänder och blir negativ. Genom hela situationen minskar förstaderivatan, och vi får en negativ andraderivata.
- Om det är en terasspunkt kan vi antingen ha en nedåt- eller uppåtgående kurva (åtminstone i närområdet). Det spelar dock ingen roll. Förstaderivatan minskar fram till terasspunkten, varpå den sedan ökar igen eller vice versa. Skillnaden här är dock att förstaderivatan hela tiden håller sig större än eller lika med noll (eller mindre än eller lika med noll). Det innebär att andraderivatan blir lika med noll. Dock måste vi alltid dubbelkolla med någon annan metod att det verkligen rör sig om en terasspunkt, eftersom några grafers andraderivata är lika med noll i vissa punkter utan att de har en terasspunkt.
Okej, tack så mycket!
Varsågod! :)
