Ändrad matrisform?

Hej!

Sats:

Om en mängd innehåller fler vektorer än det finns element i varje vektor så är mängden linjärt beroende. Det vill säga att varje mängd $\{v_{1}, \dots, v_{p}\}$ i $ℝ^{n}$ är linjärt beroende om $p > n$ .

Fundering:

Senare i beviset så nämns det att om $A = [v_{1} \dots v_{p}]$ så är $A$ en $n \times p$ -matris. Så säg att vi har fyra vektorer i rummet, d.v.s. $p = 4$ och $n = 3$ . Då har vi enligt detta att

$A = [\begin{matrix} a x_{1} & d x_{1} & g x_{1} & j x_{1} \\ b x_{2} & e x_{2} & h x_{2} & k x_{2} \\ c x_{3} & f x_{3} & i x_{3} & l x_{3} \end{matrix}]$

Men varför skrivs det på detta vis? Annars så skriver man ju alltid matriser på formen

$M = [\begin{matrix} a x_{1} & b x_{2} & c x_{3} \\ d x_{1} & e x_{2} & f x_{3} \\ g x_{1} & h x_{2} & i x_{3} \\ j x_{1} & k x_{2} & l x_{3} \end{matrix}]$

Jag förstår varför mängden måste bli linjärt beroende om det finns fler vektorer än antalet dimensioner som de befinner sig i, men jag blir lite konfunderad över varför de ändrar på detta? Missar jag något uppenbart?

Hej!

Du verkar förvirrad när du skriver elementen i matrisen $A$ och matrisen $M$ ; det verkar som om tänker på matrismultiplikation $Ax$ och $Mx$ på något sätt.

Albiki

Hej! Om kolonnerna hos matrisen $A$ är lika med de n-dimensionella vektorerna $v_1, \ldots v_p$ så kan matrisen se ut såhär.

$A = \left(\begin{matrix}v_{11}&v_{12}&\ldots & v_{1p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\ldots & v_{np}\end{matrix}\right).$

Albiki

Jag brukar skriva vektorer som kolumner, brukar inte du det?

Saken är den att i vissa sammanhang så skriver man vektorer som kolonner, även när flera vektorer sätts ihop till en matris. Men när man räknar på Ax = b till exempel, så skriver man vektorerna som rader. Många uppgifter där man räknar på pivotkolonner till exempel, så är kolonnerna inte vektorer. Men, som jag lade upp i en ny tråd, på en uppgift så ska jag tolka vad kolonnerna innebär och avgöra det krävda antalet pivotkolonner, men jag blir förvirrad över hur jag ska veta hur kolonnerna ska tolkas. Som vektorer eller inte?

Jag satte denna tråden som "löst", men ångrade mig. Kan dock inte ändra tillbaka det. Så jag skapade en ny tråd.

Svara

Visa senaste svar