Andra skalärprodukter än standardskalärprodukten

"några som nämner att". Kan du ge några exempel?

Det är inget jag har hört talas om, är du säker på att de inte menar inre produkt? Skalärprodukten (standard?) är ett exempel på en inre produkt, men det finns fler funktioner som uppfyller kraven för att vara en inre produkt, inte bara skalärprodukten (standard?).

Moffen skrev:

Det är inget jag har hört talas om, är du säker på att de inte menar inre produkt? Skalärprodukten (standard?) är ett exempel på en inre produkt, men det finns fler funktioner som uppfyller kraven för att vara en inre produkt, inte bara skalärprodukten (standard?).

Skulle gissa på det också. Typ en skalörprodukt som är viktad (weighted inner produvct) som ser ut som vanligt fast med andra kontanter typ. 

Ett avståndsmått som används i allmän relativitetsteori är roten ur x^2 + y^2 + z^2 - t^2. Observera minustecknet. Jag vet dock inte om en inre produkt hör till. 

Okej, kan vara jag som missuppfattat det hela. Vad menar exempelvis han 6:00 och en bit framåt?

https://m.youtube.com/watch?v=gBeGomzuprU&list=PLUlhpb66e-nlV7CeS_1Ag7LIeCUjFLgU5&index=59&t=0s

Jag har hört skalärprodukt användas i bemärkelsen som inre produkt i vektorrum som inte är euklidiska, även om termen 'inre produkt' är vanligare i det sammanhanget.

Något som kan vara lite klurigt att begripa med linjär algebra är att det går att tillämpa metoderna man ursprungligen lär sig för euklidiska ("vanliga" n-dimensionella vektorrum) på mycket konstigare vektorrum. Exempelvis kan man definiera ett vektorrum $P_2$ som består av alla polynom av grad två eller lägre (t.ex. $1+x+x^2$ eller $1-x$ blir alltså vektorer) och sedan definiera en inre produkt mellan två vektorer $p(x),q(x)\in P_2$ som:

$\langle p,q\rangle=$ $\displaystyle\int_{-1}^1 p\left(x\right)q\left(x\right)\left(1-x\right)^2\ dx$

Detta inre produktrum liknar kanske inte det vanliga euklidiska rummet särskilt mycket, men märk väl att det går lika bra att beräkna den inre produkten eller en norm i detta vektorrum som i ett vanligt euklidiskt rum. Enda skillnaden är egentligen att det kanske blir svårare att visualisera.

Hej!

Det som du kallar standardskalärprodukt är ett exempel på en inre produkt definierad på vektorrummet $\mathbb{R}^{n}$: om $x,y\in\mathbb{R}^{n}$ så är deras standardskalärprodukt det reella talet

    $x\cdot y = \sum_{k=1}^{n}x_ky_k.$

Det finns oändligt många andra inre produkter som kan definieras på $\mathbb{R}^n$; varje vektor $w\in\mathbb{R}^{n}$ ger upphov till en inre produkt exempelvis via definitionen

    $(x,y)_{w} = \sum_{k=1}^{n}x_ky_kw_k^2$.

(Kontrollera att denna definition verkligen uppfyller kraven på inre produkt.)

Det går även att definiera inre produkt på oändligt-dimensionella vektorrum som mängden av alla kontinuerliga funktioner från $[0,1]$ till $\mathbb{R}$; en vektor i detta rum är samma sak som en kontinuerlig funktion $x:[0,1]\to\mathbb{R}$ och kan ses som en överuppräknelig lista av reella tal $(x_t)$ som är indexerade med element i den överuppräkneliga mängden $[0,1].$

Aha, tack så mycket! :)

woozah skrev:

Moffen skrev:

Det är inget jag har hört talas om, är du säker på att de inte menar inre produkt? Skalärprodukten (standard?) är ett exempel på en inre produkt, men det finns fler funktioner som uppfyller kraven för att vara en inre produkt, inte bara skalärprodukten (standard?).

 

Skulle gissa på det också. Typ en skalörprodukt som är viktad (weighted inner produvct) som ser ut som vanligt fast med andra kontanter typ. 

Man kan ju nästan tro att jag var påverkad när jag skrev detta, men dessvärre är det bara min telefon. Ni kan ju försöka gissa vad jag egentligen skulle skriva, jösses...