Andra ordningens inhomogena differentialekvationer

Jag ska räkna ut den här differentialekvationen:

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} y (t) + 2 \frac{d}{d t} y = 3 t$

Jag har bara kommit fram till att jag ska få $y = y_{h} + y_{p}$ och att den homogena lösningen borde se ut så här:

$y'' + 2 y = 0 r^{2} + 2 r = 0 r_{1} = 0, r_{2} = - 1 y_{h} = C_{1} e^{0 t} + C_{2} e^{- 1 t}$

Är däremot inte säker på om det är rätt. Sen har jag ingen aning om hur jag ska hitta partikulärlösningen eller hur jag ska få ut $C_{1}$ och $C_{2}$ . Kommer ihåg att man på gymnasiet hade en tabell att jämföra med för att hitta rätt form på partikulärlösningen men hittar inte den när jag googlar.

Du skall ansätta en funktion som går att derivera två gånger, och där det ändå finns en t-term kvar. Du vill inte ha några sinustermer eller exponentialtermer eller liknande. Vilken sorts funktion kan det vara vettigt att ansätta?

Alltså jag har sett att vissa har använt ax+b men det har inte sett ut som att det skulle passa in på min?

Om du deriverar at+b två gånger, har du kvar nånting som kan vara 3t då?

Hmm nä... Men $a t^{2} + b t + c$ borde funka i så fall.

Glömde skriva det i uppgiften men $y (0) = 0$ och $y' (0) = 3$ .

$y_{p} = a t^{2} + b t + c y' = 2 a t + b y'' = 2 a$

stoppar in det i $y'' + 2 y' = 3 t$ och får att a och b blir

$2 a + 4 a t + 2 b = 3 t 4 a t = 3 t a = \frac{3}{4}$ $\frac{6}{4} + 3 t + 2 b = 3 t \frac{6}{4} + 2 b = 0 2 b = - \frac{3}{4}$

$y = C_{1} + C_{2} e^{- t} + \frac{3}{4} t + \frac{3}{4} y' = - C_{2} e^{- t} + \frac{3}{4} y' (0) = - C_{2} + \frac{3}{4} = 3 - C_{2} = \frac{9}{4} y (0) = C_{1} - \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = C_{1} - \frac{6}{4} = 0 C_{1} = \frac{3}{2} y = \frac{3}{2} - \frac{9}{4} e^{- t} + \frac{3}{4} t + \frac{3}{4}$

Det här är enligt facit fel och jag vet inte varför. Har inte något riktigt facit till den här utan man ska skriva in det och se om man har fått rätt men får ingen indikation på om man är nära eller inte.

När du gör ett polynom av den homogena delen (detta heter säkert något bra, men jag vet inte vad), så låter du r^2 representera y'', alltså andraderivatan. Är det då rätt att låta r representera y? Hur skulle y' ha representerats?

Jag såg att någon hade gjort så i en lösning och antog att exponenten representerar graden av derivatan.

När du tittar på den karaktäristiska ekvationen $r^2+2r = r(r+2)=0$ är rötterna verkligen 0 och -1? De rätta rötterna är givetvis 0 och -2 som du säkert ser men bara missat av slarv. Sedan har du slarvat med a, b och c med, du får rätt värde på a men har missat att a är konstanten som ska vara före $t^2$ och du har inte skrivit ut $t^2$ . Sedan har du fel värde på b, förmodligen för att du gjort det för hastigt och hoppat över steg. Du löser allting korrekt men det är slarv som leder till fel svar.

Gör om uppgiften och ta det lugnt och försiktigt istället. Om du tittar här så hittar du rätt svar sen som du kan jämföra med.

Fallet skrev:
Jag såg att någon hade gjort så i en lösning och antog att exponenten representerar graden av derivatan.

Ja, så är det ju också.

Svara

Visa senaste svar