Andra grads differentialfunktioner.

Det funkar inte med vilka två funktioner som helst, det behövs att det är en funktion som är lösningen till den homogena funktionen, d v s att VL(diffekv) = 0 för denna funktion, och att den andra är en (av många) funktionen är en partikulärlösning till diffekvationen.

Det Smaragdalena säger är kraven för att summan av de två lösningarna ska bli den allmänna lösningen. Men om f och g är lösningar till en Lineär diffekv, så är också f+g en lösning, men kanske inte Den Allmänna Lösningen.

Jag pratar om att två funktioner i andragradsekvationen adderade med varandra blir den homogena ekvationen och jag fattar inte varför. Jag kollade lite på internet men de sa att det var för att en andragradsekvation behöver mer start värden eller något i den stilen.

Du kan inte addera två partikulärlösningar och tro att du får den homogena lösningen.

Hur ser de tänkbara lösningarna för en homogen andragradens diffekvation ut? Det finns tre olika "modeller".

Men varje sådan modell är utformad från att två olika lösningar adderas.

Nej, det är inte alltid man får två olika lösningar, men OM man får två olika homogena lösningar så är vilken som helst summa av ett antal av den första lösningen plus ett antal av den andra lösningen också en lösning. Derivera de båda seoarata lösningarna och summan och sätt in anna tre varianterna (i tur och ordning) i diffekvationen så ser du att det stämmer.

Jag kanske förstår vad du säger, men finns det oändligt många homogena lösningar till tex y”-2y’-15y eller finns det bara två och dessa två adderade blir den homogena lösningen pågrund av någon anledning.

Det finns oändligt många homogena, men de skiljer sig åt i sina konstanter. Så hittar du en hittar du alla.

Men i andragradsekvationer kan jag ju hitta två olika grunder där jag inte valt ut konstanten än. Som jag kan göra i tredjegradare då man kan hitta tre sådana grunder till funktionerna.

Har du lärt dig att det finns tre olika typer av andra ordningens diffekvationer, och man skiljer dem åt genom att man löser deras karakterisktiska ekvation? Denna är en andragradsekvation.

Jo att det finns en med två reella och olika rötter, sedan en med en reell dubbelrot där man behöver lösa funktionen på sådant sätt att man får två grunder och sedan två icke reella rötter.

Jag tror att det du undrar är _varför_ man kan säga att vi har hittat alla lösningar när man har hittat två linjärt oberoende lösningar och kan bilda linjärkombinationer av dessa två? Alltså, vad det är som säger att det inte finns en tredje eller fjärde eller femte linjärt oberoende lösning, som vi bara inte har hittat?

Är det helt fel tolkning av din fråga?  

Nej det är rätt tolkat.

Men sedan förstår jag inte varför kombination av de två blir alla lösningar.

För jag förstår att den karaktäristiska ekvationen bara kan ploppa ut två rötter som max när differentialekvationen är av andragrad men varför blir dessa linjärt oberoende lösningar kombinerat alla lösningar.

Det här är en _så_ bra reflektion!

Men det ligger en bra bit utanför mina matematikkunskaper, kanske finns det någon annan här på forumet som kan...?

Jag tror iallafall att det handlar om ett teorem som kallas "The Existence-Uniqueness Theorem" som går ut på att det finns bara _en enda_  lösning på en sådan differentialekvation, som samtidigt uppfyller randvillkor för  y och y'. Alltså måste samtliga lösningar till diffekvationen vara konstruerad av linjärkombinationer av två linjärt oberoende lösningar så att man kan anpassa de två konstanterna till de två randvillkoren. Hade det funnits fler linjärt oberoende lösningar så hade konsekvensen blivit att det också hade funnits fler lösningar som uppfyllde de två randvillkoren, och därmed motsagt teoremet. 

https://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2%80%93Lindel%C3%B6f_theorem

(jag tror att wikipediasidan bara berör första ordningen, men det finns motsvarande teorem för n´te ordningen)

Tack jag tror jag förstår nu efter att sökt på detta ämne lite mer.