Andra derivatan av tan(x)

Hjälper det att explicit sätta 

$u = \cos^2x$

så att 

$y=\dfrac{1}{u}$

?

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Kanske, tänker jag rätt här?

$$\begin{gathered} \frac{1}{a^x}=a^{-x } \\ Eftersom u={\cos }^{2}x är en sammansatt funktion \\ Är detta den yttre deriva\tan : \\ f\text{'}\left(x\right)=\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)\text{'}={\left(\right(\cos x)}^{-2})\text{'} \to -2{\left(\cos x\right)}^{-3}\to =\frac{2}{{\cos }^{3}x} \end{gathered}$$

Den inre derivatan är -sinx

$\frac{1}{u}$$\to f\text{'}\left(x\right)=\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)\text{'}=-\frac{2}{{\cos }^{3}x}*-\sin x=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$

Egentligen så är det här en sammansättning av tre funktioner.

$t(x)= \cos x$

$u(t) = t^2$

$y(u)= \dfrac{1}{u}$

Derivatan är då enligt kedjeregeln

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dt} \cdot \dfrac{dt}{dx}$

De tre derivatorna i HL är 

$\dfrac{dy}{du}=-\dfrac{1}{u^2}=-\dfrac{1}{(t^2)^2}=-\dfrac{1}{\cos^4x}$

$\dfrac{du}{dt}=2t=2\cos x$

$\dfrac{dt}{dx}=-\sin x$

En annan variant är att skriva derivatan av tan(x) som 

$(\tan x)' = 1 + \tan^2x$

vilket ger (med kedjeregeln)

$(\tan x)'' = (1 + \tan^2x)' = (\tan^2x)' =2\tan x(\tan x)' = 2 \tan x(1 +\tan^2x)=\ldots$

Ytterligare en variant är att använda kvotregeln.

Täljaren blir $-1(-2\sin x·\cos x)$och nämnaren ${\cos }^{4}x$
Vilket leder till svaret.

Glöm kedjeregeln och använd istället derivata av kvot. $\frac{d}{dx}=f\text{'}\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}=\frac{d}{dx}\frac{1}{\cos \left(x\right)\cos \left(x\right)}= \frac{0\times {\cos }^2\left(x\right)-{\displaystyle \frac{d}{dx}}{\cos }^{2}x}{{\left({\cos }^{2}x\right)}^2}$.

$\frac{d}{dx}(-{\cos }^{2}x)=-\frac{d}{dx}\cos x\cos x=-(-\sin x\cos x-\sin x\cos x)=2\sin x\cos x$ ger följande

$\frac{2\sin x\cos x}{{\left({\cos }^{2}x\right)}^2}=\frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{4}x}=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$.