Ändpunkter

Hej,.

Om du har ett slutet intervall så har en funktion allrid en eller flera max- och minpunkter inuti intervallet och/eller vid intervallets ändpunkter.

Visa uppgiften så hjälper vi dig med den.

=====

Korrigering: Detta gäller.inte alla funktioner. T.ex. f(x) = 1/x saknar största/minsta värde på intervallet [-1, 1].

Tack Marilyn för påpekandet.

Oklar fråga. Menar du att man har en funktion på ett slutet intervall? 

Det finns en sats som säger att en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall har ett största och minsta värde. Jag vet inte om det är den som du undrar om. 

Max ovh minpunkter kan det finnas hur många som helst.

Men betraktar vi bara själva det slutna intervallet av alla x, a ≤ x ≤ b så har det intervallet ett minsta värde a, och ett största värde b, det är allt.

Dessutom brukar hela tallinjen från minus oändligheten till plus oändligheten betraktas som ett slutet intervall, men där finns varken största eller minsta värde.

Du behöver nog precisera frågan.

Marilyn skrev:

Oklar fråga. Menar du att man har en funktion på ett slutet intervall? 

Det finns en sats som säger att en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall har ett största och minsta värde. Jag vet inte om det är den som du undrar om. 

Max ovh minpunkter kan det finnas hur många som helst.

Men betraktar vi bara själva det slutna intervallet av alla x, a ≤ x ≤ b så har det intervallet ett minsta värde a, och ett största värde b, det är allt.

Dessutom brukar hela tallinjen från minus oändligheten till plus oändligheten betraktas som ett slutet intervall, men där finns varken största eller minsta värde.

Du behöver nog precisera frågan.

Jag tänkte på självaste ändpunkterna för de är ju båda Max eller min i ett slutet intervall. Så ska en av ändpunkterna vara Max och en min eller kan båda vara Max eller båda min.

Sedan är extrempunkterna för ändpunkterna alltid globala eller kan de också vara lokala?

Hejsan266 skrev:

Jag tänkte på självaste ändpunkterna för de är ju båda Max eller min i ett slutet intervall.

Nej, så är det inte alltid.

Det finns funktioner som har sitt största och minsta värde inuti intervallet 

Så ska en av ändpunkterna vara Max och en min eller kan båda vara Max eller båda min.

Båda kan vara max, exempel f(x) = x² i intervallet [-1, 1]

Båda kan vara min, exempel f(x) = -x² i intervallet [-1, 1]

Det kan vara så att ena är max och andra min, exempel f(x) = x i intervallet [-1, 1]

Sedan är extrempunkterna för ändpunkterna alltid globala eller kan de också vara lokala?

Funktionsvärdena i ändpunkterna är alltid lokala extrempunkter, men de behöver inte vara globala extrempunkter.

Jag tror du menar något annat än du skriver.

Ett intervall består av talen mellan a och b, säg talen mellan 3 och 7.

Om 3 och 7 inte är med i intervallet, dvs vi menar talen större än 3 och mindre än 7 så kallas intervallet öppet.

Om 3 och 7 båda är med i intervallet så kallas intervallet slutet.

^{(Nu kan du få gissa vad som menas med ett halvöppet intervall, nej, strunt i det.)}

Så det största värdet i vårt slutna intervall är 7, det minsta är 3. 

I det öppna intervallet finns inget största värde. Vi kan försöka med 6,999999 men det hjälper inte, vi kan alltid hitta ett större, t ex 6,9999999999999999999.

Men jag tror inte du menar intervallets största värde. Jag tror du menar det största värdet för en funktion som är definierad på intervallet. Om du har funktionen y = x² så har den största värdet 7² = 49 och minsta värdet 3² = 9 på intervallet 3 ≤ x ≤ 7.

Om vi tittar på en annan funktion y = (x–1)(x–4)(x–7) så ser vi genast att den är noll för x = 3 och x = 7. Men noll är varken största eller minsta värde, t ex x = 3 ger y = 8 och x = 5 ger y = –8. 

Så jag tror du måste berätta mer om din uppgiftr ifall vi ska kunna hjälpa dig.

Yngve skrev:

Hejsan266 skrev:

Jag tänkte på självaste ändpunkterna för de är ju båda Max eller min i ett slutet intervall.

Nej, så är det inte alltid.

Det finns funktioner som har sitt största och minsta värde inuti intervallet 

Så ska en av ändpunkterna vara Max och en min eller kan båda vara Max eller båda min.

Båda kan vara max, exempel f(x) = x² i intervallet [-1, 1]

Båda kan vara min, exempel f(x) = -x² i intervallet [-1, 1]

Det kan vara så att ena är max och andra min, exempel f(x) = x i intervallet [-1, 1]

Sedan är extrempunkterna för ändpunkterna alltid globala eller kan de också vara lokala?

Funktionsvärdena i ändpunkterna är alltid lokala extrempunkter, men de behöver inte vara globala extrempunkter.

Tack, för era svar båda två.

uppgiften jag tänkte på är c

Jag förstår att f(0) är ett globalt maximipunkt men inte varför f(4) är ett globalt minimipunkt, står så i facit. Jag trodde det var en lokal maximipunkt eftersom det är en andragradsfunktion och när jag ritade upp den såg de ut som maximi om ni frågar mig.

Hejsan266 skrev:

Jag förstår att f(0) är ett globalt maximipunkt men inte varför f(4) är ett globalt minimipunkt, står så i facit. Jag trodde det var en lokal maximipunkt eftersom det är en andragradsfunktion och när jag ritade upp den såg de ut som maximi om ni frågar mig.

Du måste ta hänsyn till intervallet, dvs $0\leq x\leq4$.

I det intervallet ser grafen ut så här:

Ser du då att det finns en global maximipunkt och en global minimipunkt?

Så här är det.

Om du har en funktion på ett slutet och begränsat intervall och vill veta största och minsta värde så får du först ta fram kandidaterna. De är

A De punkter där derivatan är noll.

B Intervallets ändpunkter.

(Dessutom kan det finnas punkter där derivatan inte är definierad, men det är överkurs.)

Du behöver alltså inte undersöka max eller min eller terrass, du behöver bara ta fram kandidaterna enligt A och B och sätta in i funktionen. Största värdet är globalt max, minsta värdet är globalt min.

Men för att hitta lokala extrempunkter och terrasspunkter behöver du göra teckenstudium av derivatan etc

Yngve skrev:

Hejsan266 skrev:

Jag förstår att f(0) är ett globalt maximipunkt men inte varför f(4) är ett globalt minimipunkt, står så i facit. Jag trodde det var en lokal maximipunkt eftersom det är en andragradsfunktion och när jag ritade upp den såg de ut som maximi om ni frågar mig.

Du måste ta hänsyn till intervallet, dvs $0\leq x\leq4$.

I det intervallet ser grafen ut så här:

Ser du då att det finns en global maximipunkt och en global minimipunkt?

Kanske? Är det för att f(0) ser ut att vara på toppen av funktionen som den blir maximipunkten och f(4) håller på att åka ner till en minimipunkt?

Jag har samma problem med ett exempel boken visar om ändpunkter, jag tycker att det sur ut som ett maxi och ett mini men de tycker att båda är minimipunkter. Så jag förstår inte allt detta riktigt.

Hejsan266 skrev:

Kanske? Är det för att f(0) ser ut att vara på toppen av funktionen som den blir maximipunkten

Ja, det är eftersom f(0) är funktionens största värde i intervallet.

och f(4) håller på att åka ner till en minimipunkt?

Nej, det är inte därför. Istället är det för att f(4) är funktionens minsta värde i intervallet.

Jag tror det är bättre om Yngve fortsätter, lycka till!

Hejsan266 skrev:

Jag har samma problem med ett exempel boken visar om ändpunkter, jag tycker att det sur ut som ett maxi och ett mini men de tycker att båda är minimipunkter. Så jag förstår inte allt detta riktigt.

• Punkt A är ett lokalt minimum
• Punkt B är ett globalt maximum
• Punkt C är ett globalt minimum

Om detta känns konstigt så kan du friska upp definitionerna av begreppen lokalt/globalt maximum/extremum t.ex. här.

Yngve skrev:

Hejsan266 skrev:

Jag har samma problem med ett exempel boken visar om ändpunkter, jag tycker att det sur ut som ett maxi och ett mini men de tycker att båda är minimipunkter. Så jag förstår inte allt detta riktigt.

• Högra ändpunkten är ett globalt minimum.
• Vänstra ändpunkten är ett lokalt minimum.

Ok, det förstår man. Det finns alltså ett maximum som de inte skrev ut i lösningen. Man kan inte ha två minimipunkter.

Hejsan266 skrev:

Ok, det förstår man. Det finns alltså ett maximum som de inte skrev ut i lösningen.

Det här var väl ingen uppgift som ska lösas? Jag antar att det här endast var ett exempel för att belysa hur man ska se på de funktionsvärden som ligger på/nära intervallgrönserna.

I så fall så finns det ingen "lösning" och punkt B är då heller inte intressant i sammanhanget.

Man kan inte ha två minimipunkter.

Jodå, det går utmärkt. Både punkt A och punkt C är minimipunkter.

Men det kan inte finnas fler än en global minimipunkt (och inte heller fler än en global maximipunkt).