Analytisk geometri- problem med korsande räta linjer

Uppgiften lyder:

En kvadrat har i ett koordinatsystem hörnen i punkter O = (0, 0), A = (1, 0), B = (1, 1) samt C = (0, 1). Mittpunkten på BC är M. Punkten P på linjen OM binds samman med A. Mittpunkten på sträckan AP är D och mittpunkten på sträckan AB är N. Bestäm koordinaterna för punkten P om M, D och N ligger i rät linje.

Jag tolkar då uppgiften såhär:

Jag räknade ut formlerna för två av de räta linjerna (y=2x) och (y=-x+1.5)

Jag vet dock inte hur jag ska fortsätta. Det finns 3 skärningspunkter mellan linjerna, varav 2 är okända.

Jag testade att skriva punkten D med hjälp av sträckan PA. Jag använde mig av att D i mitten av sträckan PA är i både x-led och y-led mitt emellan deras koordinater.

$(\frac{x_{p} - 1}{2}, \frac{y_{p} - 0}{2})$

Punkten P är på linjen y=2x, isf är:

$y_{p} = 2 x_{p}$

Då blir koordinaten för D (med en mindre okänd):

$(\frac{x_{p} - 1}{2}, \frac{2 x_{p}}{2})$

D ligger linjen y=-x+1.5 Isf:

$\frac{2 x_{p}}{2} = - \frac{x_{p} - 1}{2} + 1.5$

x2 på båda sidor ger:

$2 x_{p} = x_{p} - 1 + 3$

Det blir:

$x_{p} = 2$

Då måste y_p bli:

$y_{p} = 2 \times 2$

$y_{p} = 4$

punkten P ligger på (2,4)

Men facit säger (2/3 , 4/3)

Var har jag missat /3? (Jag kom på mycket själv när jag skrev ner hur jag tänkte här XP )

LinnNilsson skrev:
Jag testade att skriva punkten D med hjälp av sträckan PA. Jag använde mig av att D i mitten av sträckan PA är i både x-led och y-led mitt emellan deras koordinater.
$(\frac{x_{p} - 1}{2}, \frac{y_{p} - 0}{2})$

Detta kan inte stämma när D ligger till höger om P och därför har högre x-värde. Tänk också på att ditt svar skulle vara (2,4) men din bild är skalenlig, du borde redan veta att det svaret är orimligt. Du ser hur nära punkten (0.5,1) som P är.

I övrigt har du tänkt helt rätt och ritat en väldigt bra figur.

Edit: Glömde ge ett tips. Denna kvot:

$\frac{1-x_{p}}{2}$

Det beskriver avståndet mellan punkten A och D eller punkten P och D i x-led. Hur kan du använda detta?

Jag insåg att jag gjort fel i första steget då jag bestämde koordinaten för D. Jag måste lägga till eller ta bort hälften (som jag räknad ut förut), från en koordinat. Y jämför jag dock med en koordinat som är 0, så jag behöver inte ta minus.

$(x_{p} + \frac{1 - x_{p}}{2}, \frac{y_{p}}{2})$

Med samma uträkning som innan får jag då:

-------------------------------------------------------------

Punkten P är på linjen y=2x, isf ä

$y_{p} = 2 x_{p}$

Då blir koordinaten för D :

$(x_{p} + \frac{1 - x_{p}}{2}, \frac{2 x_{p}}{2})$

D ligger på linjen y=-x + 1.5 Isf:

$\frac{2 x_{p}}{2} = - (x_{p} + \frac{1 - x_{p}}{2}) + 1.5$

$\frac{2 x_{p}}{2} = - x_{p} - \frac{1 - x_{p}}{2} + 1.5$

*2 på båda sidor om = ger:

$2 x_{p} = - 2 x_{p} - 1 + x_{p} + 3$

$3 x_{p} = 2 x_{p} = \frac{2}{3}$

$y_{p} = 2 (\frac{2}{3}) y_{p} = \frac{4}{3}$

Svar: $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$

Vilket stämmer enligt facit!

Svara