Analytisk funktion
Jag har så svårt att förstå varför funktionen är analytiskt innanför och på kurvan?
Funktionen är ju inte analytisk i a (en punkt innanför cirkeln) då den är odefinierad. Men varför är den "analytisk innanför och på kurvan"?
Det står om är analytisk innanför (och på) . Det är ett antagande. Kan även tillägga att funktionen fortfarande är analytisk i punkten (återigen, ett antagande).
Moffen skrev:Det står om är analytisk innanför (och på) . Det är ett antagande. Kan även tillägga att funktionen fortfarande är analytisk i punkten (återigen, ett antagande).
Tack! Jag förstår vad du säger, men det var inte svar på min fråga. Funktionen f(z) är analytiskt i ett område, låt oss kalla M, som är enkelt sammanhängande. I detta område finns en sluten kurva C.
Funktionen f(z) är analytisk i hela M.
Funktionen f(z) är också analytisk på eller innan C (Varför?)
Funktionen f(z) är ej analytisk i punkten a. Punkt a är en punkt som ligger i M.
Tack! Jag förstår vad du säger, men det var inte svar på min fråga. Funktionen f(z) är analytiskt i ett område, låt oss kalla M, som är enkelt sammanhängande. I detta område finns en sluten kurva C.
Ok (antagande).
Funktionen f(z) är analytisk i hela M.
Ok (antagande).
Funktionen f(z) är också analytisk på eller innan C (Varför?)
För att och är analytisk i hela .
Funktionen f(z) är ej analytisk i punkten a. Punkt a är en punkt som ligger i M.
Fel. Eftersom och är analytisk i hela så är analytisk i .
EDIT: Du måste skilja på funktionen och integranden .
Kanske spökar det faktum att det bråket i integralen inte är definierat i punkten a?
Men det gör inget eftersom kurvan vi integrerar över inte innehåller a
Moffen skrev:Tack! Jag förstår vad du säger, men det var inte svar på min fråga. Funktionen f(z) är analytiskt i ett område, låt oss kalla M, som är enkelt sammanhängande. I detta område finns en sluten kurva C.
Ok (antagande).
Funktionen f(z) är analytisk i hela M.
Ok (antagande).
Funktionen f(z) är också analytisk på eller innan C (Varför?)
För att och är analytisk i hela .
Funktionen f(z) är ej analytisk i punkten a. Punkt a är en punkt som ligger i M.
Fel. Eftersom och är analytisk i hela så är analytisk i .
EDIT: Du måste skilja på funktionen och integranden .
Tack för din förklaring. Just nu tänker jag såhär
- Låt oss säga att f(z) är en analytisk funktion i ett enkelt sammanhängande område M.
- Vi har en sluten kurvan γ i M.
- Kurvan γ är positiv orienterad i M.
- Vi låter z_0 vara en godtycklig punkt som finns i M.
- Cauchys integralformel ger oss
f(z_0) = 1/i(2pi) integral (f(z)/(z-z_0))dz.
- Vi kan notera att funktionen är analytisk på eller innanför kurvan γ förutom z_0 då den är odefinierad i z_0. Varför på eller innanför? Jag tänker på att γ är delmängd av M.
Tänker jag rätt?
Vad menar du med funktionen just här? Funktionen f är analytisk i hela området.
Integranden har en singularitet i a.
f(a) är inte en funktion alls, bara en vanlig siffra.
Micimacko skrev:Vad menar du med funktionen just här? Funktionen f är analytisk i hela området.
Integranden har en singularitet i a.
f(a) är inte en funktion alls, bara en vanlig siffra.
Jag tror att jag blandar funktion och integral som Moffen skriver.
Blandar du fortfarande ihop dem eller har vi svarat på frågan? :)
Micimacko skrev:Blandar du fortfarande ihop dem eller har vi svarat på frågan? :)
blandar :(
Om vi försöker från början då.
F är en funktion som är analytisk på M (minst)
z-a är en annan funktion som är analytisk överallt utom i a
F/(z-a)=g är sammansatt av de två tidigare, och därför analytisk där båda de andra är det, alltså M utom a
F(a) är den siffra du får ut om du stoppar in a i f, precis som vanligt
F(a) kan också räknas ut genom att integrera g runt a.
Och ännu intressantare är att använda den åt andra hållet, du vet att du vill integrera g, så vi gångrar g med (z-a) för att få f, och då kan vi bara stoppa in a så är det klart.
Är någon av de delarna oklar?
Micimacko skrev:Om vi försöker från början då.
F är en funktion som är analytisk på M (minst)
z-a är en annan funktion som är analytisk överallt utom i a
F/(z-a)=g är sammansatt av de två tidigare, och därför analytisk där båda de andra är det, alltså M utom a
F(a) är den siffra du får ut om du stoppar in a i f, precis som vanligt
F(a) kan också räknas ut genom att integrera g runt a.
Och ännu intressantare är att använda den åt andra hållet, du vet att du vill integrera g, så vi gångrar g med (z-a) för att få f, och då kan vi bara stoppa in a så är det klart.
Är någon av de delarna oklar?
Hej,
Här blir det tyvärr mer förvirrande än förtydliganden. Du skriver om en funktion F och om en funktion f, samt påstår felaktigt att funktionen z-a är analytisk överallt utom i punkten a. Jag tror att du avser funktionen 1/(z-a) istället för z-a och att funktionerna F och f är samma funktion; sedan är F(a) ett (komplext) tal och inte en siffra!
Albiki skrev:Micimacko skrev:Om vi försöker från början då.
F är en funktion som är analytisk på M (minst)
z-a är en annan funktion som är analytisk överallt utom i a
F/(z-a)=g är sammansatt av de två tidigare, och därför analytisk där båda de andra är det, alltså M utom a
F(a) är den siffra du får ut om du stoppar in a i f, precis som vanligt
F(a) kan också räknas ut genom att integrera g runt a.
Och ännu intressantare är att använda den åt andra hållet, du vet att du vill integrera g, så vi gångrar g med (z-a) för att få f, och då kan vi bara stoppa in a så är det klart.
Är någon av de delarna oklar?
Hej,
Här blir det tyvärr mer förvirrande än förtydliganden. Du skriver om en funktion F och om en funktion f, samt påstår felaktigt att funktionen z-a är analytisk överallt utom i punkten a. Jag tror att du avser funktionen 1/(z-a) istället för z-a och att funktionerna F och f är samma funktion; sedan är F(a) ett (komplext) tal och inte en siffra!
Jag skriver en ny tråd och börjar allt från början.