Analytisk funktion

Det står om $f(z)$ är analytisk innanför (och på) $C$. Det är ett antagande. Kan även tillägga att funktionen $f(z)$ fortfarande är analytisk i punkten $a$ (återigen, ett antagande). 

Moffen skrev:

Det står om $f(z)$ är analytisk innanför (och på) $C$. Det är ett antagande. Kan även tillägga att funktionen $f(z)$ fortfarande är analytisk i punkten $a$ (återigen, ett antagande). 

Tack! Jag förstår vad du säger, men det var inte svar på min fråga. Funktionen f(z) är analytiskt i ett område, låt oss kalla M, som är enkelt sammanhängande. I detta område finns en sluten kurva C. 

Funktionen f(z) är analytisk i hela M. 

Funktionen f(z) är också analytisk på eller innan C (Varför?)

Funktionen f(z) är ej analytisk i punkten a. Punkt a är en punkt som ligger i M.

Tack! Jag förstår vad du säger, men det var inte svar på min fråga. Funktionen f(z) är analytiskt i ett område, låt oss kalla M, som är enkelt sammanhängande. I detta område finns en sluten kurva C. 

Ok (antagande).

Funktionen f(z) är analytisk i hela M. 

Ok (antagande).

Funktionen f(z) är också analytisk på eller innan C (Varför?)

För att $C \subset M$ och $f(z)$ är analytisk i hela $M$.

Funktionen f(z) är ej analytisk i punkten a. Punkt a är en punkt som ligger i M.

Fel. Eftersom $a \in M$ och $f(z)$ är analytisk i hela $M$ så är $f(z)$ analytisk i $a$.

EDIT: Du måste skilja på funktionen $f(z)$ och integranden $\frac{f(z)}{z-a}$.

Kanske spökar det faktum att det bråket i integralen inte är definierat i punkten a?

Men det gör inget eftersom kurvan vi integrerar över inte innehåller a

Moffen skrev:

Tack! Jag förstår vad du säger, men det var inte svar på min fråga. Funktionen f(z) är analytiskt i ett område, låt oss kalla M, som är enkelt sammanhängande. I detta område finns en sluten kurva C. 

Ok (antagande).

Funktionen f(z) är analytisk i hela M. 

Ok (antagande).

Funktionen f(z) är också analytisk på eller innan C (Varför?)

För att $C \subset M$ och $f(z)$ är analytisk i hela $M$.

Funktionen f(z) är ej analytisk i punkten a. Punkt a är en punkt som ligger i M.

Fel. Eftersom $a \in M$ och $f(z)$ är analytisk i hela $M$ så är $f(z)$ analytisk i $a$.

 

EDIT: Du måste skilja på funktionen $f(z)$ och integranden $\frac{f(z)}{z-a}$.

Tack för din förklaring. Just nu tänker jag såhär 

- Låt oss säga att f(z) är en analytisk funktion i ett enkelt sammanhängande område M.

- Vi har en sluten kurvan γ i M.

- Kurvan γ är positiv orienterad i M.

- Vi låter z_0 vara en godtycklig punkt som finns i M.

- Cauchys integralformel ger oss 

f(z_0) = 1/i(2pi) integral (f(z)/(z-z_0))dz.

-  Vi kan notera att funktionen är analytisk på eller innanför kurvan γ förutom z_0 då den är odefinierad i z_0. Varför på eller innanför? Jag tänker på att γ  är delmängd av M.

Tänker jag rätt? 

Vad menar du med funktionen just här? Funktionen f är analytisk i hela området.

Integranden har en singularitet i a.

f(a) är inte en funktion alls, bara en vanlig siffra.

Micimacko skrev:

Vad menar du med funktionen just här? Funktionen f är analytisk i hela området.

Integranden har en singularitet i a.

f(a) är inte en funktion alls, bara en vanlig siffra.

Jag tror att jag blandar funktion och integral som Moffen skriver.

Blandar du fortfarande ihop dem eller har vi svarat på frågan? :)

Micimacko skrev:

Blandar du fortfarande ihop dem eller har vi svarat på frågan? :)

blandar :(

Om vi försöker från början då.

F är en funktion som är analytisk på M (minst)

z-a är en annan funktion som är analytisk överallt utom i a

F/(z-a)=g är sammansatt av de två tidigare, och därför analytisk där båda de andra är det, alltså M utom a

F(a) är den siffra du får ut om du stoppar in a i f, precis som vanligt

F(a) kan också räknas ut genom att integrera g runt a.

Och ännu intressantare är att använda den åt andra hållet, du vet att du vill integrera g, så vi gångrar g med (z-a) för att få f, och då kan vi bara stoppa in a så är det klart.

Är någon av de delarna oklar?

Micimacko skrev:

Om vi försöker från början då.

F är en funktion som är analytisk på M (minst)

z-a är en annan funktion som är analytisk överallt utom i a

F/(z-a)=g är sammansatt av de två tidigare, och därför analytisk där båda de andra är det, alltså M utom a

F(a) är den siffra du får ut om du stoppar in a i f, precis som vanligt

F(a) kan också räknas ut genom att integrera g runt a.

Och ännu intressantare är att använda den åt andra hållet, du vet att du vill integrera g, så vi gångrar g med (z-a) för att få f, och då kan vi bara stoppa in a så är det klart.

Är någon av de delarna oklar?

Hej,

Här blir det tyvärr mer förvirrande än förtydliganden. Du skriver om en funktion F och om en funktion f, samt påstår felaktigt att funktionen z-a är analytisk överallt utom i punkten a. Jag tror att du avser funktionen 1/(z-a) istället för z-a och att funktionerna F och f är samma funktion; sedan är F(a) ett (komplext) tal och inte en siffra!

Albiki skrev:

Micimacko skrev:

Om vi försöker från början då.

F är en funktion som är analytisk på M (minst)

z-a är en annan funktion som är analytisk överallt utom i a

F/(z-a)=g är sammansatt av de två tidigare, och därför analytisk där båda de andra är det, alltså M utom a

F(a) är den siffra du får ut om du stoppar in a i f, precis som vanligt

F(a) kan också räknas ut genom att integrera g runt a.

Och ännu intressantare är att använda den åt andra hållet, du vet att du vill integrera g, så vi gångrar g med (z-a) för att få f, och då kan vi bara stoppa in a så är det klart.

Är någon av de delarna oklar?

Hej,

Här blir det tyvärr mer förvirrande än förtydliganden. Du skriver om en funktion F och om en funktion f, samt påstår felaktigt att funktionen z-a är analytisk överallt utom i punkten a. Jag tror att du avser funktionen 1/(z-a) istället för z-a och att funktionerna F och f är samma funktion; sedan är F(a) ett (komplext) tal och inte en siffra!

Jag skriver en ny tråd och börjar allt från början.