Analytisk funktion

Vad menar du med "jämn med abs(z) ?"? Där tappar jag bort mig.

Hur som helst, att $f(z)=\sin{z}$, $f : D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är analytisk i hela sin definitionsmängd kan ses eftersom CR-ekvationen $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sin(z)\right)=0$ i hela $D$. Men om du med "abs(z)" menar $\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}$ så gäller ju att $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}\right)\neq0$ i hela $D$ beroende på vad vi väljer $D$ som (Ex. $D = \{z \in \mathbb{C}: \vert z \vert \leq 1\}$).

EDIT: Ändrade $D$.

Moffen skrev:

Vad menar du med "jämn med abs(z) ?"? Där tappar jag bort mig.

Hur som helst, att $f(z)=\sin{z}$, $f : D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är analytisk i hela sin definitionsmängd kan ses eftersom CR-ekvationen $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sin(z)\right)=0$ i hela $D$. Men om du med "abs(z)" menar $\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}$ så gäller ju att $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}\right)\neq0$ i hela $D$ beroende på vad vi väljer $D$ som (Ex. $D = \{z : \Re{\left(z\right)} >0 \}$).

jämförelse 

Moffen skrev:

Vad menar du med "jämn med abs(z) ?"? Där tappar jag bort mig.

Hur som helst, att $f(z)=\sin{z}$, $f : D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är analytisk i hela sin definitionsmängd kan ses eftersom CR-ekvationen $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sin(z)\right)=0$ i hela $D$. Men om du med "abs(z)" menar $\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}$ så gäller ju att $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}\right)\neq0$ i hela $D$ beroende på vad vi väljer $D$ som (Ex. $D = \{z : \vert z \vert \geq 1\}$).

 

EDIT: Ändrade $D$.

vad är det för konstigt R där du menar? med z > 0

Moffen skrev:

Vad menar du med "jämn med abs(z) ?"? Där tappar jag bort mig.

Hur som helst, att $f(z)=\sin{z}$, $f : D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är analytisk i hela sin definitionsmängd kan ses eftersom CR-ekvationen $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sin(z)\right)=0$ i hela $D$. Men om du med "abs(z)" menar $\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}$ så gäller ju att $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}\right)\neq0$ i hela $D$ beroende på vad vi väljer $D$ som (Ex. $D = \{z : \vert z \vert \geq 1\}$).

 

EDIT: Ändrade $D$.

Ja nu såg jag, men e det för att abs(z) inte blir definierad där då i origo?

sannakarlsson1337 skrev:

Moffen skrev:

Vad menar du med "jämn med abs(z) ?"? Där tappar jag bort mig.

Hur som helst, att $f(z)=\sin{z}$, $f : D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är analytisk i hela sin definitionsmängd kan ses eftersom CR-ekvationen $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sin(z)\right)=0$ i hela $D$. Men om du med "abs(z)" menar $\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}$ så gäller ju att $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}\right)\neq0$ i hela $D$ beroende på vad vi väljer $D$ som (Ex. $D = \{z : \Re{\left(z\right)} >0 \}$).

jämförelse 

Annars är en komplex funktion analytisk om den är komplex deriverbar i alla punkter i sin definitionsmängd. Testa detta med båda funktionerna, notera speciellt fallet för $\vert z \vert$ i punkten $0$. (Lägg in en bild här sen av dina försök!)

EDIT: Din andra fråga: Med $\Re$ menas den reella delen av det komplexa talet (Ex. $\Re \left(3-7i\right)=3$), men glöm just den mängden för exemplet, jag valde en ny.

Moffen skrev:

sannakarlsson1337 skrev:

Visa föregående citat

Moffen skrev:

Vad menar du med "jämn med abs(z) ?"? Där tappar jag bort mig.

Hur som helst, att $f(z)=\sin{z}$, $f : D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är analytisk i hela sin definitionsmängd kan ses eftersom CR-ekvationen $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sin(z)\right)=0$ i hela $D$. Men om du med "abs(z)" menar $\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}$ så gäller ju att $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}\right)\neq0$ i hela $D$ beroende på vad vi väljer $D$ som (Ex. $D = \{z : \Re{\left(z\right)} >0 \}$).

jämförelse 

Annars är en komplex funktion analytisk om den är komplex deriverbar i alla punkter i sin definitionsmängd. Testa detta med båda funktionerna, notera speciellt fallet för $\vert z \vert$ i punkten $0$. (Lägg in en bild här sen av dina försök!)

 

EDIT: Din andra fråga: Med $\Re$ menas den reella delen av det komplexa talet (Ex. $\Re \left(3-7i\right)=3$), men glöm just den mängden för exemplet, jag valde en ny.

ja, men det e u för d/dz * abs(z) blir något med ett bråk, å därför kan den finnas en noll där?

Kolla på definitionen här och testa själv och se vad du får :)

Moffen skrev:

Kolla på definitionen här och testa själv och se vad du får :)

fattar inte :/

Beräkna, för $f(z)=\sin{z}$ och för $f(z)=\vert z \vert$ följande:

$f'(z_{0})=\lim_{z \to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$. Vad händer för $\vert z \vert$ i punkten $z_{0}=0$?

Om detta gränsvärde existerar för alla $z \in D$ så gäller att funktionen är holomorf/analytisk. 

EDIT: Det börjar bli lite rörigt. Vi tar om det från början. Har du koll på vad en analytisk funktion är? Komplext deriverbar funktion? Cauchy-Riemann ekvationerna?

Moffen skrev:

Vad menar du med "jämn med abs(z) ?"? Där tappar jag bort mig.

Hur som helst, att $f(z)=\sin{z}$, $f : D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är analytisk i hela sin definitionsmängd kan ses eftersom CR-ekvationen $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sin(z)\right)=0$ i hela $D$. Men om du med "abs(z)" menar $\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}$ så gäller ju att $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}\right)\neq0$ i hela $D$ beroende på vad vi väljer $D$ som (Ex. $D = \{z \in \mathbb{C}: \vert z \vert \leq 1\}$).

 

EDIT: Ändrade $D$.

Hur deriverar man map z-konjugat? 

Micimacko skrev:

Moffen skrev:

Vad menar du med "jämn med abs(z) ?"? Där tappar jag bort mig.

Hur som helst, att $f(z)=\sin{z}$, $f : D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ är analytisk i hela sin definitionsmängd kan ses eftersom CR-ekvationen $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sin(z)\right)=0$ i hela $D$. Men om du med "abs(z)" menar $\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}$ så gäller ju att $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(\sqrt{\left(z\bar{z}\right)}\right)\neq0$ i hela $D$ beroende på vad vi väljer $D$ som (Ex. $D = \{z \in \mathbb{C}: \vert z \vert \leq 1\}$).

 

EDIT: Ändrade $D$.

Hur deriverar man map z-konjugat? 

Jag la in en länk till definitionen lite längre ner där det står "här".