Analysera kurvor utan grafräknare

Eftersom du tagit fram skärningarna och hittat två stycken, vet du att den kurva som ligger överst i intervallet är samma kurva i hela intervallet. Då kan vi sätta in exempelvis x = 2 i f och k:

$f(2)=-13$ och $k(2)=-7$ (slarvigt räknat, kontrollräkna de exakta siffrorna)

Eftersom k ger ett större y-värde än f, i intervallet, ligger k över f! :)

Man behöver kunna rita för hand. Den räta linjen är enkel - hoppas du håller med! Du bör snabbt kunna hitta att symmetrilinjen till parabeln är x=3, och sedan är det ett enda värde på parabeln du behöver räkna fram - förutom att du behöver lösa ekvationen 3x²-18x+11=-3x-1 för att få fram skärningspunkterna.

Förresten, i och med att du hittar två skärningspunkter mellan kurvorna, och du vet att det är en "glad mun" så kan du inse att andragradskurvan måste vara underkurva - hade en "glad" andragradskurva ligga ovanför den räta linjen så skulle det inte ha blivit några skärningspunkter.

Hej!

Differensen

    $f(x)-k(x)=3x^2-18x+11+3x+1=3x^2-15x+12=3(x^2-5x+4)$

kan kvadratkompletteras 

    $f(x)-k(x)=3(x-2.5)^2+3(4-2.5^2)$

och den visar för vilka $x$ som differensen är negativ. 

Tack för alla bra svar som kompletterar varandra och gör att jag förstår.

Snabb men ful lösning:

Chansa. Integrera f(x) - k(x). Arean är absolutbeloppet av integralens värde.

• Om integralens värde är positivt så ligger f ovanför k och du chansade rätt.
• Om integralens värde är negativt så ligger f under k och du chansade fel.

Varningar:

• För att detta ska funka måste den ena kurvan ligga ovanför den andra i hela intervallet.
• Du kan förlora poäng på provet om uppgiften kräver att du ska redovisa lösningar.

@Yngve: Smart! Dock lite den här typen av lösning: 

:D

Gilla quick-and-dirty ibland :-)

Silvertejpen har sin givna plats i matematikernas verktygslåda, mellan enhetscirkeln och konjugatregeln!

Bra med många alternativ.

Jo, Smaragdalena, jag förstod nu att jag räknar ut symmetriplanen, parabelns skärningspunkter med x-axeln och parabelns extrempunkt (min.punkt) för att få parabelns utseende. Det är sådant jag kan vid det här laget.

Skärningspunkterna med x-axeln får jag genom att sätta f(x)=0.

De blir vid ungefär x=0,7 och x=5,3.

Du behöver inte lösa ekvationen f(x)=0 (däremot behöver du lösa ekvationen f(x)=k(x) för att få fram skärningspunkterna).

Jag menade för att få veta parabelns utseende. Att jag ville veta parabelns skärningspunkter med x-axeln för att kunna rita parabeln och även för att se symmetrilinjen.

Albiki skrev:

Hej!

Differensen

    $f(x)-k(x)=3x^2-18x+11+3x+1=3x^2-15x+12=3(x^2-5x+4)$

kan kvadratkompletteras 

    $f(x)-k(x)=3(x-2.5)^2+3(4-2.5^2)$

och den visar för vilka $x$ som differensen är negativ. 

Konjugatregeln låter dig skriva

    $4-2.5^2 = (\frac{4}{2})^2-(\frac{5}{2})^2=(\frac{4}{2}-\frac{5}{2})(\frac{4}{2}+\frac{5}{2})=-\frac{9}{4} = -(3/2)^2$

och då kan differensen, återigen med hjälp av Konjugatregeln, skrivas

    $f(x)-k(x) = 3\cdot (x-\frac{5}{2}-\frac{3}{2})(x-\frac{5}{2}+\frac{3}{2})=3\cdot(x-4)(x-1).$

Differensen är negativ då $1<x<4$, vilket betyder att på detta intervall är ligger grafen till den räta linjen över grafen till funktionen $f.$

Lisa Mårtensson skrev:

Jo, Smaragdalena, jag förstod nu att jag räknar ut symmetriplanen, parabelns skärningspunkter...

EDIT: symmetrilinjen ska det förstås stå.