Analysens huvudsats för att bevisa påstående

Kan du skriva ut "Analysens huvudsats" så att vi vet vad vi menar.

Tills dess här ett försök utan någon "huvudsats":

Definiera I att vara integralen i VL och beteckna integralen av en funktion h(x) över integrationsintervallet 0<=x<=2 med I(h) Sätt g(x)=f(x)-I/2. Vi har g kontinuerlig och g(0)=0. Om I=0 är beviset trivialt (ksi=0), säg därför först I>0 . Om g(x)<0 för alla x i halvöppna intervallet V: 0<x<=2, så är f(x)<I/2 för alla x i V. Då är I(x*f) <I(x*I/2)=I, vilket strider mot definitionen av I. Således finns minst ett t i V sådant att g(t)>0. Då g är kont, är bilden g(V) av V under g sammanhängande, varför det måste finnas ett r tillhörande V sådant att g(r)=0. Då uppfyller r kraven på det önskade ksi. Fallet I<0 behandlas analogt. 

Jag skulle lösa så här:

f är kontinuerlig på slutet intervall så har ett minimum m och ett maximum M.

Det följer då att

$$\begin{gathered} m{\int }_0^{2}x dx\le {\int }_0^{2}xf\left(x\right) dx \le M{\int }_0^{2}x dx \\ 2m\le {\int }_0^{2}xf\left(x\right) dx \le 2M \\ m\le \frac{1}{2}{\int }_0^{2}xf\left(x\right)dx\le M \end{gathered}$$

f(x) är kontinuerlig och antar därför enligt satsen om mellanliggande värden alla värden mellan m och M i synnerhet finns ett $\xi$ sådant att

$f\left(\xi \right)=\frac{1}{2}{\int }_0^{2}xf\left(x\right)dx$

vilket är ekvivalent med vad vi vill visa.

Tack för era förslag, har bättre förståelse nu!