Analysens grunder: brakar allt om rummet inte är metriskt?

I den mening som du tänker på analys, nej. Det finns säkert någon fields medal-matematiker som kan komma in här och skriva något elegant om någon algebraisk geometri som ingen (gissar jag) kommer förstå ett skvatt av.

En topologi beskriver endast formen av ett matematisk rum, men det finns inget meningsfullt sätt att betrakta avstånd. Om vi då inte kan prata om avstånd, hur ska vi då kunna prata om hur funktioner förändras från punkt till punkt? Broarna i Königsberg är ett klassiskt exempel på ett topologiskt problem. Som du ser så kan man reducera problemet till ett problem som ej kräver någon information alls om själva geometrin, istället räcker det med en graf med noder.

Det är metriken som ger rummet en utbredning. Därmed kan vi börja prata om saker som avstånd och jämföra hur funktioner ändras på infinitesimala avstånd (vilket är derivatan).

emmynoether skrev:

I den mening som du tänker på analys, nej. Det finns säkert någon fields medal-matematiker som kan komma in här och skriva något elegant om någon algebraisk geometri som ingen (gissar jag) kommer förstå ett skvatt av.

Va? Vilken av mina frågor är det nej på?

En topologi beskriver endast formen av ett matematisk rum, men det finns inget meningsfullt sätt att betrakta avstånd. Om vi då inte kan prata om avstånd, hur ska vi då kunna prata om hur funktioner förändras från punkt till punkt? Broarna i Königsberg är ett klassiskt exempel på ett topologiskt problem. Som du ser så kan man reducera problemet till ett problem som ej kräver någon information alls om själva geometrin, istället räcker det med en graf med noder.

Jaha så är donuts och kleinflaskor "rum" (utan metrik)?

Hur definierar man ett rum?

Qetsiyah skrev:

emmynoether skrev:

I den mening som du tänker på analys, nej. Det finns säkert någon fields medal-matematiker som kan komma in här och skriva något elegant om någon algebraisk geometri som ingen (gissar jag) kommer förstå ett skvatt av.

Va? Vilken av mina frågor är det nej på?

En topologi beskriver endast formen av ett matematisk rum, men det finns inget meningsfullt sätt att betrakta avstånd. Om vi då inte kan prata om avstånd, hur ska vi då kunna prata om hur funktioner förändras från punkt till punkt? Broarna i Königsberg är ett klassiskt exempel på ett topologiskt problem. Som du ser så kan man reducera problemet till ett problem som ej kräver någon information alls om själva geometrin, istället räcker det med en graf med noder.

Jaha så är donuts och kleinflaskor "rum" (utan metrik)?

Hur definierar man ett rum?

Du har ju som högst läst lite flervariabelanalys, så jag anpassade mitt svar utifrån det.

Istället för att fråga om alla detaljer så kan du ju testa leta lite. Ett "rum" är ingenting utan att du specificerar det närmare.

emmynoether skrev:

I den mening som du tänker på analys, nej.

Varför är det inte tvärtom? I den mening jag tänkte på analys (kalkyl) skulle "allt braka" utan metrik, men inte analys i dess riktiga bemärkelse.

emmynoether skrev:

I den mening som du tänker på analys, nej. Det finns säkert någon fields medal-matematiker som kan komma in här och skriva något elegant om någon algebraisk geometri som ingen (gissar jag) kommer förstå ett skvatt av.

En topologi beskriver endast formen av ett matematisk rum, men det finns inget meningsfullt sätt att betrakta avstånd. Om vi då inte kan prata om avstånd, hur ska vi då kunna prata om hur funktioner förändras från punkt till punkt? Broarna i Königsberg är ett klassiskt exempel på ett topologiskt problem. Som du ser så kan man reducera problemet till ett problem som ej kräver någon information alls om själva geometrin, istället räcker det med en graf med noder.

Det är metriken som ger rummet en utbredning. Därmed kan vi börja prata om saker som avstånd och jämföra hur funktioner ändras på infinitesimala avstånd (vilket är derivatan).

Alltså på en graf kan man definiera en metrik, en intuitiv metrik till och med. Man kan till och med integrera över dem, det finns metoder i komplex analys som bygger på att en kurva approximeras av en familj av geometriska grafer som konvergerar mot kurvan när antalet hörn i grafen går mot oändligheten. 

Rum utan metrik är liksom mycket "underligare" än en graf.