Analysens fundamentalsats

naytte skrev:

Hej Pluggakuten!

Nyligen gick vi igenom analysens fundamentalsats i matten men det finns en grej jag inte riktigt förstår. Så här kom vi fram till den i klassrummet:

Antag att man har en funktion $y=f\left(t\right)$. Låt även $F\left(x\right)={\int }_a^{x}f\left(t\right)dt$. Om vi nu deriverar detta får vi:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)-F\left(x\right)}{h}=f\left(x\right)$.

Jag kan helt köpa resonemanget hittils. Det jag inte förstår är hur detta implicerar att:

${\int }_a^{b}f\left(t\right)dt=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Det jag tycker är märkligt är att man måste ta -F(a). Kommer inte F(a) alltid vara 0, eftersom man integrerar en funktion från a till a? Jag förstår helt enkelt inte just det steget och skulle uppskatta en tydliggörelse.

Som vanligt - rita! Om du fortfarande behöver fler förklaringar - lägg upp din bild här.

Det jag tycker är märkligt är att man måste ta -F(a). Kommer inte F(a) alltid vara 0, eftersom man integrerar en funktion från a till a? Jag förstår helt enkelt inte just det steget och skulle uppskatta en tydliggörelse.

Nej, F(a) är inte alltid 0. Det som du beskriver verkar mer vara att integrera från x = a till x = a som naturligtvis är 0.

Vad ska jag rita, menar du? Jag köper hela resonemanget, inga konstigheter. Det är bara just den sista delen med F(b)-F(a) jag inte riktigt förstår. 

Eftersom vi vet att $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$, innebär det att den primitiva funktionen i en punkt t=x alltid kommer ge arean under kurvan från en punkt a till x. Så när jag tar F(b) borde jag få arean under en kurva från x=a till x=b. Men varifrån kommer då F(a)?

Rita upp funktionen f(x) = 3-x/2. Rita in F(x) i samma graf. Markera vilka areor som motsvarar ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx och {\int }_2^{4}f\left(x\right)dx$. Lägg upp din bild här. Beräkna areorna dels som (arean av en rektangel plus arean av en triangel), dels som integraler.

Kan jag välja en godtycklig F(x) då? Alltså utan C-termen?

Det löste sig! Nu när jag förstår det verkar det rätt uppenbart. Tack för hjälpen!

Ok nu verkar det ha löst sig, men jag tror du använder a för två olika saker. Först är det bara en godtycklig undre gräns, sedan är det undre gränsen i en integral. Så när du beräknar F(a) råkar det bli samma bokstav för både undre och övre gränsen, men den undre gränsen är bara ett godtyckligt tal, och skulle lika gärna kunna heta m, K eller vad som helst?

Yes, det var det som förvirrade mig. Jag såg en annan härledning där man använde ${\int }_c^{x}f\left(t\right)dt$ istället och det gjorde allt mycket klarare.