Analys. Ytterligare vad blir gränserna?

Cirkelbågen ser mer ut att gå från theta = 0 till pi/4, tycker jag.

Jag gissar att du ska använda nånting om kurvintegraler längs en sluten kurva (cirkelintegraler) för att slippa evaluera de där fjärdegradssakerna.

Gör om till 2 olika integraler: En för linjen (0,0) -> (sqrt(2),0), en för kurvan (sqrt(2), 0) -> (1,1).

Den andra linjen blir enklare om du gör om till polär form. men r ska vara sqrt(2) under hela kurvan.  fundera lite på vilken vinkel du har i punkten (1,1).

Tendo skrev:

Gör om till 2 olika intergraler: En för linjen (0,0) -> (sqrt(2),0), en för kurvan (sqrt(2), 0) -> (1,1).

Den andra linjen blir enklare om du gör om till polär form. men r
ska vara sqrt(2) under hela kurvan.  fundera lite på vilken vinkel du har i punkten (1,1).

 Aha för att cirkeln går till punkten (1,1) så ska vi kolla vad det motsvarar i enhetscirkeln? men (1,1) vad blir det...det kan ju va alla i första kvadraten?? 

_____-

När du skrev "En för linjen (0,0) -> (sqrt(2),0)" den linjen blir ju bara horisontell på x-axeln. så det blir väl $\int_0^{\sqrt{2}}dx$

Laguna skrev:

Cirkelbågen ser mer ut att gå från theta = 0 till pi/4, tycker jag.

 

 Hur såg du det?

Enhetscirkeln är väl bra att ha, men det är inte den som man går längs i uppgiften.

Laguna skrev:

Enhetscirkeln är väl bra att ha, men det är inte den som man går längs i uppgiften.

 Hmm okej, vad går man efter? jag tänkte enhetscsirkeln för att vi har en cirkel (höhö)

mrlill_ludde skrev:

Laguna skrev:

Enhetscirkeln är väl bra att ha, men det är inte den som man går längs i uppgiften.

 Hmm okej, vad går man efter? jag tänkte enhetscsirkeln för att vi har en cirkel (höhö)

Vad står det efter "och sedan längs cirkeln" i frågan?

Laguna skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Enhetscirkeln är väl bra att ha, men det är inte den som man går längs i uppgiften.

 Hmm okej, vad går man efter? jag tänkte enhetscsirkeln för att vi har en cirkel (höhö)

Vad står det efter "och sedan längs cirkeln" i frågan?

 ...med $radie=\sqrt{2}$

Jag ritar såhär, men fattar inte...

hehe jag ritar väldigt fult

Varför ligger din punkt med koordinaterna (1,1) på x-axeln?

Smaragdalena skrev:

Varför ligger din punkt med koordinaterna (1,1) på x-axeln?

 Hehe nee punkten är inte på x-axeln. Den är där uppe vid (1,1) hehe om du tittar uppåt. Blev jätteflummigt ritat. Sträcket vid (1,0) skulle egentligen bara visa att där är punkten x=1.. .

mrlill_ludde skrev:

Smaragdalena skrev:

Varför ligger din punkt med koordinaterna (1,1) på x-axeln?

 Hehe nee punkten är inte på x-axeln. Den är där uppe vid (1,1) hehe om du tittar uppåt. Blev jätteflummigt ritat. Sträcket vid (1,0) skulle egentligen bara visa att där är punkten x=1.. .

Om du menar att den rödmarkerade punkten är $(1,1)$ så stämmer det inte.

Punkten $(1,1)$ ligger (ungefär) vid den blåa pricken, dvs på cirkeln med radie $\sqrt{2}$.

Yngve skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Varför ligger din punkt med koordinaterna (1,1) på x-axeln?

 Hehe nee punkten är inte på x-axeln. Den är där uppe vid (1,1) hehe om du tittar uppåt. Blev jätteflummigt ritat. Sträcket vid (1,0) skulle egentligen bara visa att där är punkten x=1.. .

Om du menar att den rödmarkerade punkten är $(1,1)$ så stämmer det inte.

Punkten $(1,1)$ ligger (ungefär) vid den blåa pricken, dvs på cirkeln med radie $\sqrt{2}$.

Men då ligger den ju inte på cirkeln? $\sqrt{2}>1$ utan väldigt nära... 

eEller ja jo. Ok. jag är med. Då är detta vinkeln $\frac{\pi}{4}$

mrlill_ludde skrev:

Yngve skrev:

Om du menar att den rödmarkerade punkten är $(1,1)$ så stämmer det inte.

Punkten $(1,1)$ ligger (ungefär) vid den blåa pricken, dvs på cirkeln med radie $\sqrt{2}$.

Men då ligger den ju inte på cirkeln? $\sqrt{2}>1$ utan väldigt nära... 

Jo den ligger på cirkeln.

Cirkeln $x^2+y^2=2$ består av alla punkter som ligger på avståndet $\sqrt{2}$ från origo. Är du med på det?

Hur långt från origo ligger punkten $(1,1)$?

Och sedan då, då blir integralerna

$\int_0^{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{4}} rdrd\theta$ ?

EDIT - ser nu att polletten trillat ner ...

Hej!

Den orienterade kurvan $\gamma = \gamma_1 + \gamma_2$ där den räta linjen $\gamma_1$ startar i punkten $(0,0)$ och slutar i punkten $(\sqrt{2},0)$ och cirkeln $\gamma_2$ börjar i punkten $(\sqrt{2},0)$ och slutar i punkten $(1,1)$. Om man vill parameterisera dessa två kurvor så gäller det att använda parameteriseringar som respekterar dessa orienteringar.

    $\displaystyle\gamma_1 = \{(0,0) + t \cdot (\sqrt{2},0)\ , \quad 0 \leq t \leq 1\}$

och

    $\displaystyle\gamma_2 = \{(\sqrt{2}\cos s\ ,\sqrt{2}\sin s)\ , \quad 0 \leq s \leq \pi/4\}.$

Kurvintegralen delas upp i en summa av två kurvintegraler

    $\displaystyle \int_\gamma = \int_{\gamma_1} + \int_{\gamma_2}$

där varje term hanteras med sin respektive parameterisering.

Om man inte vill beräkna kurvintegralen med hjälp av de två parameteriseringarna så kan man använda Greens formel över det slutna område ($D$) som begränsas av kurvan $\partial D = \gamma_1+\gamma_2+\gamma_3,$ där $\gamma_3$ är den räta linje som startar i punkten $(1,1)$ och slutar i punkten $(0,0)$

    $\displaystyle\int_{\partial D} = \iint_{D} \text{ och } \int_{\partial D} = (\int_{\gamma_1} + \int_{\gamma_2}) + \int_{\gamma_3}$

Med Greens formel blir den sökta kurvintegralen

    $\displaystyle\int_{\gamma} = \iint_{D} - \int_{\gamma_3}.$

Albiki skrev:

Med Greens formel blir den sökta kurvintegralen

    $\displaystyle\int_{\gamma} = \iint_{D} - \int_{\gamma_3}.$

 där $D \in [0,\sqrt{2}], [0,\pi/4]$ och $\gamma_3 \in [0,1]$?

mrlill_ludde skrev:

Albiki skrev:

Med Greens formel blir den sökta kurvintegralen

    $\displaystyle\int_{\gamma} = \iint_{D} - \int_{\gamma_3}.$

 där $D \in [0,\sqrt{2}], [0,\pi/4]$ och $\gamma_3 \in [0,1]$?

Ja, men jag skulle använda = i stället för $\in$, och skriva ut att det är r och theta som tillhör dessa intervall, och att det är en parametrisering liknande Albikis för gamma1 för gamma3.