Analys: tankar om oändliga produkter

Oändliga produkter har inte lika många användningsområden som oändliga summor, i alla fall i de tidigare kurserna. Så vitt jag vet dyker någon ordentlig användning av oändliga produkter inte upp förrän i ganska avancerad komplex analys (jag tänker mig typ Weierstraß faktorsats), medan oändliga summor har mängder av användningar i mindre avancerade sammanhang.

En annan anledning är att alla oändliga produkter kan omvandlas till oändliga summor. Så om du kan undersöka konvergens hos summor kan du även undersöka konvergens hos produkter. Här, låt mig visa. Antag att vi har produkten:

$\displaystyle\Pi=\prod_{n=1}^\infty a_n$

Genom att ta logaritmen av båda led får vi sedan:

$\displaystyle\ln\left(\Pi\right)=\ln\left(\prod_{n=1}^\infty a_n\right)=\sum_{n=1}^\infty \ln\left(a_n\right)$

(där vi i sista steget använder logaritmlagen $\ln(abc)=\ln(a)+\ln(b)+\ln(c)$)

Vi kan då konstatera att om summan konvergerar konvergerar även produkten, och om produkten konvergerar konvergerar även summan. Vi kan alltså undersöka produktens konvergens genom att undersöka huruvida summan:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \ln\left(a_n\right)$

är konvergent.

Att bevisa din tanke handlar nu helt enkelt om att studera vad som händer med summan:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\left(a_n\right)$

då $a_n\to1$. Ja, om $a_n\to1$ går ju $\ln(a_n)\to0$, och det är ju välkänt att det är nödvändigt (men inte tillräckligt!) att termerna i en serie skall gå mot noll för att den skall konvergera.

Här hade vi en tråd där vi lekte lite med en oändlig produkt:

https://www.pluggakuten.se/trad/oandlig-produkt

Jajajajaaaaaaa! Smart användning av logaritmlagen där.

Fattar inte så mycket av den tråden, men coolt!