Analys: Stone-Weierstrass sats och Taylorapproximation
Hej, jag vet att det går att få till en slät funktion som har en konvergent taylorserie, men som inte konvergerar mot funktionen någonstans (utom en punkt) (en slät, nowhere analytic funktion). Går det inte emot vad Stone-Weierstrass sats säger?
Är det för att S-W sats inte specifikt säger att polynomet ska vara en taylor serie? Hur får man då explicit fram det där polynomet som approximerar funktionen godtyckligt noggrannt, om inte med en taylor serie?
https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function
Är svaret på min fråga typ något med ortogonala polynom?
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_polynomials
Visa spoiler
Övrig fundering: känns mer och mer som att taylor polynom/serier är ganska useless. För det första är inte alla funktioner släta. Att vi behöver kräva att funktionen är analytisk för att taylor ska konvergera är för generöst och begränsande. Fourierserier kan approximera vilken funktion som helst på ett kompakt intervall så länge den är Lesbegueintegrerbar (kontinuerlig med undantag för en nollmängd), det är ju ett mycket slappare krav. Samma med approximering med ortogonala polynom. Är det för att informationen taylorserier använder är mindre än för approximationsmetoder som involverar integraler? Eller något med: https://www.pluggakuten.se/trad/analys-nagot-om-att-derivator-ar-kansligare-an-integraler/ ?
Nja, det står väl aldrig att något visst polynom ska konvergera mot funktionen?
Jag gissar att det inte är ett bestämt polynom som avses, utan att det får bero på hur nära funktionen du vill ha det. Men om det finns en konvergent serie på intervallet borde det nog gå att använda 🤔 Annars kan det kanske duga med något väldigt långt polynom som vinglar fritt men tillräckligt litet runt funktionen?
Micimacko skrev:Nja, det står väl aldrig att något visst polynom ska konvergera mot funktionen?
Jo, så tolkar jag det i alla fall. Eller... vad menar du med det du skrivit?
https://mast.queensu.ca/~speicher/Section14.pdf
(Det är alltså en följd av polynom som ska konvergera mot funktionen, om vi ska vara formella.)
Jag gissar att det inte är ett bestämt polynom som avses, utan att det får bero på hur nära funktionen du vill ha det. Men om det finns en konvergent serie på intervallet borde det nog gå att använda 🤔 Annars kan det kanske duga med något väldigt långt polynom som vinglar fritt men tillräckligt litet runt funktionen?
Jag förstår inte vad du menar...
1. S-W:s sats förutsätter bara kontinuitet på en kompakt mängd. Det behöver således inte finnas några derivator och därför heller ingen Taylor. Är funktionen du vill approximera holomorf, så är ju saken klar eller vad menar du med "slät" och "nowhere" brukar vara relaterat till ett mått, vilket i så fall? (Kanske Lebesguemåttet som ju är positivt på öppna icke-tomma mängder, som ju måste vara tillstädes om vi ska ha en holomorfi.)
S-W är en generalisering av Weierstrass approximationssats från R (eller C) till ett kompakt Hausdorffrum. I beviset för Weierstrass hittar du konstruktionen av den approximerande polynomföljden, men då är det på R eller C.
Tomten skrev:1. S-W:s sats förutsätter bara kontinuitet på en kompakt mängd. Det behöver således inte finnas några derivator och därför heller ingen Taylor.
Mmm...
Är funktionen du vill approximera holomorf, så är ju saken klar eller vad menar du med "slät" och "nowhere" brukar vara relaterat till ett mått, vilket i så fall? (Kanske Lebesguemåttet som ju är positivt på öppna icke-tomma mängder, som ju måste vara tillstädes om vi ska ha en holomorfi.)
Va?
En smooth nowhere (real) analytic function fanns det ett ecempel på i länken här https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function
S-W är en generalisering av Weierstrass approximationssats från R (eller C) till ett kompakt Hausdorffrum. I beviset för Weierstrass hittar du konstruktionen av den approximerande polynomföljden, men då är det på R eller C.
Tack! Jag tror att det är Weierstrasd approximationssats jag egentligen undrar över, inte generaliseringen med SW, den är för komplicerad.
Aha, vi befinner oss på lite disjunkta områden. I min värld är en real analytic function att betrakta som en restriktion till R av en holomorfi. Måste inte då Taylor konvergera mot sin funktion på (på kompakta delmängder förståss) åtminstone i detta fall?
