Analys: slät funktion med removeable discontinuity (Matematik/Universitet)

Det heter removable, men det tycker jag google borde hjälpa dig med.

Jag får alltid ont i huvudet av sådana här diskontinuitetsfrågor.

Till att börja med tycker jag frågan är lite oklar: vad menar man ens med en "removable discontinuity"? Ofta verkar man mena något i stil med att det ska finnas ett "hål" i definitionsmängden vid någon punkt som kan "täppas till" så att man får en kontinuerligt funktion, men det passar inte ihop med standarddefinitionen av av kontinuitet (där det inte är ett krav att funktionen ska ha sammanhängande definitionsmängd).

Dessutom känns det inte riktigt som att den som har kommit på det här begreppet är införstådd med att deinitionsmängden är en del av datan som specificerar en funktion. Så vitt jag kan kan vi ta vilken slät funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ som helst, artificiellt göra ett hål i definitionsmängden vid något $x_0\in\mathbb{R}$ , och bilda en funktion $g:\mathbb{R}\setminus\{x_0\}\to\mathbb{R}$ genom att sätta $g(x)=f(x)$ för alla $x_0\in\mathbb{R}$ . Voilà: en "removable discontinuty"! Men måttligt intressant.

Ett förslag på omformulering skulle kunna vara denna:

Hitta en slät funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sådan att $f(x)$ för $x\neq 0$ kan uttryckas symboliskt på ett sätt som (i någon mer eller mindre lös bemärkelse) "inte makear sense" när x=0 (t.ex. för att vi får division med 0).

Men är detta ens en särskilt matematisk fråga? Det känns mer som en språklig grej, som handlar mer om våra symboler för att beskriva funktioner, än funktionerna som sådana.

Ett trivialt sätt att konstruera exempel som uppfyller den här omformuleringen är (precis som du är inne på i ursprungsinlägget) att ta vilken slät funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ som helst, och sedan konstatera att vi för alla $x\neq x_0$ kan uttrycka $f(x)$ som kvoten $\frac{f(x)(x-x_0)}{x-x_0}$ , vilket ju inte makear så mycket sense för $x=x_0$ eftersom vi då dividerar med 0.

Ett mindre trivialt exempel är funktionen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definierad av

$\,{f(x)}=\left\{\begin{array}{ll}\sin(x)/x&\text{for $x\neq 0$}\\1&\text{for $x=0$.}\end{array}\right.$

som ju helt uppenbart har en symbolisk beskrivning för $x\neq 0$ som inte makear sense när $x=0$ . Att detta verkligen är en slät funktion kan vi visa genom att notera att $f$ på hela sin definitionsmängd kan beskrivas som den oändligt deriverbara potensserien

$\displaystyle{f(x)}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\cdots=\sum_{k=0}^\infty {(-1)}^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}$

(som med fördel kan jämföras med Taylor-serien för cosinus för att verifiera konvergens).

Jag har inte mer att tillägga än att din formulering (som du redigerade bort nu ser jag) är bra; "definitionsmängden är en del av datan som utgör funktionen". Men detta tror jag är ett mer pro sätt att betrakta och prata om funktioner som man inte kommer i kontakt med så tidigt.

Nu tror jag jag snackar lite bs men på ett fundamentalt plan är notionen (eng.) av en funktion väl frikopplad både dess algebraiska uttryck och graf på ett xy-plan (två saker man associerar väldigt starkt med)? Det insåg jag när någon sa till mig att "de flesta" funktioner från någon delmängd av R till en annan delmängd av R inte är kontinuerliga, de går bara inte att uttrycka algebraiskt, och är inte meningsfullt att grafa. Det hjälper nog att ha sett andra funktioner i andra sammanhang (där det även heter något annat än "funktion") för att se de ur det perspektivet.

Detta varierar nog också, men det att $f(x)$ inte står för en funktion (snarare dess bild av x i målmängden) är också en sån grej man plockar upp senare.

Om du någon gång ska jobba som övningsassistent i något motsvarande envariabelanalys kommer du få väldigt ont i huvudet. Som du säkert vet brukar man fråga "vad är definitionsmängden av ...?", och uppgiften är att identifiera negativa rötter, division med noll och logaritmer av negativa tal, inversa trigonometriska funktioner av abs(x)>1 osv... Medan svaret då är att det är en non-question, alternativt man bestämmer själv.

Med detta sagt tror jag ändå att du vet om det primitiva konceptet om en funktion (som jag använt här)?

Qetsiyah skrev:
Nu tror jag jag snackar lite bs men på ett fundamentalt plan är notionen (eng.) av en funktion väl frikopplad både dess algebraiska uttryck och graf på ett xy-plan (två saker man associerar väldigt starkt med)?

Det finns olika sätt att se på det, men den vanligaste (och i mina ögon bästa) definitionen är denna:

Definition. En funktion $f:D\to M$ består av tre bitar data:

En mängd $D$ som kallas funktionens definitionsmängd.

En mängd $M$ som kallas funktionens målmängd.

En mängd $\mathcal{F}\subseteq D\times M$ med precist ett par $(x,y)\in\mathcal{F}$ för varje $x\in D$ som kallas för funktionens graf.

Normalt sett använder vi beteckningen $f(x)$ för att referera till det $y\in M$ som elementet $x\in D$ paras ihop med i mängden $\mathcal{F}$ , och vi kan tänka oss $\mathcal{F}$ som en slags "lista" som beskriver vart elementen i $D$ ska mappas.

Ofta beskriver vi den här "listan" genom att med hjälp av matematiska symboler beskriva någon slags "regel" för hur $f(x)$ beror av $x$ . Och om $D\subseteq\mathbb{R}$ och $M\subseteq\mathbb{R}$ , och grafen $\mathcal{F}$ är tillräckligt snäll, så kan vi visualisera funktionen genom att plotta (en del av) alla paren i $\mathcal{F}$ i ett 2-dimensionellt koordinatsystem. Men precis som du säger så finns det otroligt många fler funktioner $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ än vi någonsin kommer kunna föreställa oss visuellt eller beskriva med en ändlig sekvens symboler från ett ändligt symbolsystem (antalet funktioner $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ har större kardinalitet än mängden ändliga ord som kan kan bildas från en ändlig teckenuppsättning).

Exempel: Heltalskvadreringsfunktionen $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ bestäms av mängden

$\mathcal{F}=\{\ldots,\:(-1,1),\:(0,0),\:(1,1),\:(2,4),\:(3,9),\:\ldots\}\,,$

som in sin kan beskrivas av regeln $f(n)=n^2$ , eller visualiseras i ett koordinatsystem på följande vis:

En konsekvens av definitionen ovan är mycket riktigt att en funktion inte bryr sig om vilka symboler/ord/bilder/whatever vi människor använder för att beskriva den. Till exempel så är

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med $\,{f(x)}=\left\{\begin{array}{ll}\sin(x)/x&\text{om $x\neq 0$}\\1&\text{om $x=0$}\end{array}\right.$

och

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med $\,{f(x)}=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty {(-1)}^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}$

bara två olika beskrivningar av ett och samma matematiska objekt.

Qetsiyah skrev:
Om du någon gång ska jobba som övningsassistent i något motsvarande envariabelanalys kommer du få väldigt ont i huvudet. Som du säkert vet brukar man fråga "vad är definitionsmängden av ...?", och uppgiften är att identifiera negativa rötter, division med noll och logaritmer av negativa tal, inversa trigonometriska funktioner av abs(x)>1 osv... Medan svaret då är att det är en non-question, alternativt man bestämmer själv.

Haha, mjo, den typen av frågor framkallar också matematisk huvudverk. Men lyckligtvis kan de relativt enkelt omformuleras till något mer meningsfullt, typ "bestäm mängden av alla $x\in\mathbb{R}$ för vilka uttrycket $\sqrt{1-x^2}$ är definierat (meningsfullt)".