Analys: serie av kontinuerliga funktioner blir en funktion diskontinuerlig överallt?
Låt de kontinuerliga funktionerna vara def i ett intervall (möjligen hela R), kan skapa en serie så att den konvergerar mot en funktion som är diskontinuerlig överallt i intervallet?
Vi kan enkelt reducera till fallet med funktionsföljer istället för serier genom att betrakta följden av partialsummor. Alla delsummor är en ändlig summa av kontinuerliga funktioner så de är kontinuerliga. Låt oss säga att de är definierade på en sluten delmängd X av R. Eftersom X då är ett fullständigt metriskt rum är det ett Baire space. Men enligt en sats gäller då att mängden av punkter där gränsfunktionen är kontinuerlig måste vara tät i X. Speciellt innehåller den minst en punkt (X antas givetvis vara icke-tom).(Satsen står under properties på Wikipedia, det är även sats 48.5 i Munkres Topology).
Så... nej?
Det var första gången jag hörde talas om en Baire space! Jag förstår inte dess wikipediasida så bra.
Qetsiyah skrev:Så... nej?
Ja eftersom den är kontinuerlig på en tät delmängd så kan den speciellt inte vara kontinuerlig överallt. Jag har inte arbetat så mycket med Baire spaces, men det kom upp som en del av en kurs i topologi jag läst. Definitionen av ett sådant rum X är helt enkelt att om man snittar ett uppräkneligt antal täta delmängder av X så är den resulterande mängden fortfarande tät i X. (En delmängd A är tät i X om varje punkt ur X antingen tillhör A eller är hopningspunkt till A. Till exempel är Q tät i R)
