Differentialgeometri och optimering: sätta mått på hur platt en yta är

Krökning tenderar att definieras som en lokal egenskap (en egenskap vid en punkt på kroppens yta) snarare än som en global egenskap hos hela objektet -- såvida det inte är ett symmetriskt objekt som en sfär där alla punkter har samma egenskaper. 

Finns olika mått i olika situationer, https://en.wikipedia.org/wiki/Curvature#:~:text=In%20mathematics%2C%20curvature%20is%20any,deviates%20from%20being%20a%20plane mensom kvalitativt är lika men kvantitativt skiljer sig.  Men ett känt mått är Gaussisk krökning, https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature där man tar produkten av endimensionell krökning i två riktningar. 

Vill man sedan definiera krökning eller böjning som en global egenskap tar man man en medelvärdesintegral över lokala krökningen för att få en medelkrökning: https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_curvature

Tack! Nu ska jag läsa

Lite överkurs:

En rolig övning kan vara att lösa ut ytans krökningstensor $B^\alpha_\beta$ från Weingartens formel .

$B$ en symmetrisk tensor med reella egenvärden $\kappa_1$ och $\kappa_2$

Som vi kommer ihåg från linjär algebra är egenvärdena ett mått på hur mycket en vektor maximalt /minmalt kan tänjas eller tryckas ihop av $B$, dvs när du tar ett litet steg åt något håll på ytan (i tangentplanet), vilket är samma sak Gauss menade när han skapade måttet $K=\kappa_1 \kappa_2$

Alltså är Gausskrökningen $K=\det(B)$ eftersom egenvärdena ligger på diagonalen (B kan ses som en diagonaliserad matris).

Försök beräkna Gausskrökningen för en yta. Börja med något enkelt, t.ex. en sfär. Den har samma krökning åt vilket håll du än går, kan du visa att det stämmer med ytans krökningstensor?

Edit: Eftersom wikiartikeln var lite knöligare än jag tänkt

$B_{\alpha \beta}=-\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial x^\alpha}\nabla_\beta n^i$

Där $n^i$ är ytnormalen, vi höjer ett index (kom  ihåg att använda ytans metriska tensor)

$B^\alpha_\beta=s^{\alpha\gamma}B_{\gamma \beta}$