Analys - rotationskropp

Bestäm volymen av den rotationskropp som uppkommer då ytan mellan kurvan och x-axeln roterar runt x-axeln.

$y = \frac{1}{\sqrt{x (1 + x^{2})}} d å x \geq 1$

Mitt försök:

Använder formeln för rotationskroppar: $V = \int_{a}^{b} {πy}^{2} dx$

Integration utan gränser ger:

$π \int \frac{1}{x (1 + x^{2})} = π (\ln (x) - \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1))$

Jag är lite osäker hur man gör med gränserna, x>=1 och mindre eller lika med oändligheten antar jag.

Ska man undersöka konvergensvärdet och sätta det som en övre gräns för integralen eller hur hittar men volymen för rotationskroppen?

Just det. Med $x \geq 1$ menas all area under grafen från 1 och framåt, d.v.s. från 1 till oändligheten. Alltså blir integralen:

$\int_{1}^{\infty} \frac{π}{x (1 + x^{2})} d x$

Hur hanterar man oändligheten?

Får det till:

$π (\ln (T) - \frac{1}{2} \ln (T^{2} + 1) - \ln (1) + \frac{π}{2} \ln (2)) d å T g å r m o t \infty$

Blir det inte oändligheten - oändligheten?

TriForce2 skrev :
Hur hanterar man oändligheten?
Får det till:
$π (\ln (T) - \frac{1}{2} \ln (T^{2} + 1) - \ln (1) + \frac{π}{2} \ln (2)) d å T g å r m o t \infty$
Blir det inte oändligheten - oändligheten?

Använd en logaritmlag på de två första termern, så kan du komma vidare. (log(a)-log(b) = ...))

$π \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x (1 + x^{2})} dx = π \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x (1 + x^{2})} dx = = π \lim_{t \to \infty} {(\ln x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}))}^{t}_{1} = π \lim_{t \to \infty} {(\ln x - \ln \sqrt{1 + x^{2}})}^{t}_{1} = = π \lim_{t \to \infty} {(\ln \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{t}_{1} = π \lim_{t \to \infty} (\ln \frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}} - \ln \frac{1}{\sqrt{2}}) = = π (\ln 1 - \ln \frac{1}{\sqrt{2}}) = π \ln \sqrt{2}$

Svara

Visa senaste svar