Analys - Polynom

mon_12 skrev:

Jag har svårt att förstå på vilket sätt Puiseux serier säger att rötter finns till ett polynom. Blir tacksam om någon kan förklara. 

 

"Puiseux's theorem, sometimes also called the Newton–Puiseux theorem, asserts that, given a polynomial equation , its solutions in y, viewed as functions of x, may be expanded as Puiseux series that are convergent in some neighbourhood of the origin (0 excluded, in the case of a solution that tends to infinity at the origin). In other words, every branch of an algebraic curve may be locally (in terms of x) described by a Puiseux series."

Finns det någon som skulle förklara? :) 

Är det citatet du vill ha hjälp med att förstå? För det verkar inte i sig handla om existens av rötter. 

Skaft skrev:

Är det citatet du vill ha hjälp med att förstå? För det verkar inte i sig handla om existens av rötter. 

Nej! Jag tänkte skriva citaten så att det blir en förklaring till vad denna teori handlar om. Min fråga är varför rötter existerar.

Fortfarande lite lost, tyvärr. Varför rötter existerar, pratar du om algebrans fundamentalsats då? Vill du bevisa den med hjälp av Puiseuxserier? Ledsen om jag är lite trög =)

Skaft skrev:

Fortfarande lite lost, tyvärr. Varför rötter existerar, pratar du om algebrans fundamentalsats då? Vill du bevisa den med hjälp av Puiseuxserier? Ledsen om jag är lite trög =)

ja precis. d'Alembert använde Puiseux serier för att komma fram till att rötterna måste vara komplexa. Men jag undrar på vilket sätt han trodde att rötterna finns? Jag tror att det har Puiseux att göra. 

Det här är inte saker jag kan, men det är intressant så jag har kollat runt lite. d'Alemberts bevis för att alla polynom p(z) har minst ett nollställe tycks bygga på två insikter:

1. Beloppet |p(z)| måste nå ett minimum
2. Alla punkter z som inte är nollställen till p måste ha en granne med ett mindre absolutbelopp (d'Alemberts lemma).

Om man accepterar de två påståendena så innebär det att |p(z)| måste bli noll minst en gång, någonstans (och då är även p(z) = 0). En visuell tolkning finns återgiven här som var lite kul (tal motsvaras av färger, och d'Alemberts lemma motsvaras av att varje punkt utom svarta har en grannpunkt som är mörkare - då måste någon punkt vara svart, vilket motsvarar talet noll). 

d'Alembert använde Puiseuxserier för att motivera punkt 2. Jag *tror* att utdraget nedan förklarar hur, men ärligt talat är jag inte riktigt med själv. Men poängen verkar vara att om något y (dvs P(z)) är minst i sin omgivning och dessutom inte noll så får man en motsägelse.

Texten är tagen härifrån, sid 899.

Skaft skrev:

Det här är inte saker jag kan, men det är intressant så jag har kollat runt lite. d'Alemberts bevis för att alla polynom p(z) har minst ett nollställe tycks bygga på två insikter:

1. Beloppet |p(z)| måste nå ett minimum
2. Alla punkter z som inte är nollställen till p måste ha en granne med ett mindre absolutbelopp (d'Alemberts lemma).

Om man accepterar de två påståendena så innebär det att |p(z)| måste bli noll minst en gång, någonstans (och då är även p(z) = 0). En visuell tolkning finns återgiven här som var lite kul (tal motsvaras av färger, och d'Alemberts lemma motsvaras av att varje punkt utom svarta har en grannpunkt som är mörkare - då måste någon punkt vara svart, vilket motsvarar talet noll). 

d'Alembert använde Puiseuxserier för att motivera punkt 2. Jag *tror* att utdraget nedan förklarar hur, men ärligt talat är jag inte riktigt med själv. Men poängen verkar vara att om något y (dvs P(z)) är minst i sin omgivning och dessutom inte noll så får man en motsägelse.

Texten är tagen härifrån, sid 899.

Tack så mycket för hjälpen!!!

Skaft skrev:

Det här är inte saker jag kan, men det är intressant så jag har kollat runt lite. d'Alemberts bevis för att alla polynom p(z) har minst ett nollställe tycks bygga på två insikter:

1. Beloppet |p(z)| måste nå ett minimum
2. Alla punkter z som inte är nollställen till p måste ha en granne med ett mindre absolutbelopp (d'Alemberts lemma).

Om man accepterar de två påståendena så innebär det att |p(z)| måste bli noll minst en gång, någonstans (och då är även p(z) = 0). En visuell tolkning finns återgiven här som var lite kul (tal motsvaras av färger, och d'Alemberts lemma motsvaras av att varje punkt utom svarta har en grannpunkt som är mörkare - då måste någon punkt vara svart, vilket motsvarar talet noll). 

d'Alembert använde Puiseuxserier för att motivera punkt 2. Jag *tror* att utdraget nedan förklarar hur, men ärligt talat är jag inte riktigt med själv. Men poängen verkar vara att om något y (dvs P(z)) är minst i sin omgivning och dessutom inte noll så får man en motsägelse.

Texten är tagen härifrån, sid 899.

Jag har hittat denna men hänger inte riktigt vad serien är.