Analys: om en funktion är glatt så kan den inte vara olinjär sedan linjär?

Jag skulle säga enbart approximativt. Möjligtvis till godtycklig noggrannhet men fortfarande approximativt. Det som händer är att om du har:

$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+bx+c}$

Uppträder denna funktionen för stora $x$ som en linjär funktion:

$f\left(x\right)\approx \sqrt{x^2}=\left|x\right|$

Detta har du säkert sett när du analyserat kägelsnitt i form av en hyperbel och deras sneda asymptoter. I specialfallet när du har en andragradare som kan skrivas på formen ${(x+a)}^2$ kommer den alltid uppträda linjärt för $x>-a$ och $x<-a$ eftersom vi får:

$f\left(x\right)=\left|x+a\right|$

Du kan ju enkelt verifiera detta själv. Skriv ned $f(x)= \sqrt{ax^2+bx+c}$ och derivera sedan detta. Är derivatan konstant i något intervall? Om ja, då är funktionen linjär där. Om nej, ... .

EDIT: I det allmänna fallet kan jag faktiskt inte komma på ett enda exempel. Min första tanke var en styckvis definierad funktion, men det borde inte funka. Om den är linjär någonstans så måste den, som högst, vara ett förstagradspolynom, medan en icke-linjär måst ha en taylorutveckling till som minst andra ordningen. Alltså kommer det aldrig vara kontinuerligt deriverbart i andra ordningen.

Jag kanske har ett svar på frågan huruvida en graf i allmänhet kan gå från att vara olinjär till linjär men fortfarande glatt. Har hittat ett exempel som jag tror uppfyller detta.

Betrakta funktionen

$f(x)=x, x \geq 0$

och

$f(x) = x + e^{\frac{1}{x}}, x < 0$

Vi har ju här en funktion som är linjär för $x\geq0$ och ickelinjär för $x<0$. Om vi nu deriverar denna funktion får vi två fall

1. $x\geq0$

Första derivatan här blir ju 1 och alla följande är 0 för alla $x$.

2. $x<0$

Första derivatan blir

$\frac{d}{dx} x+e^{\frac{1}{x}}=1-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

Där vi har att

$\lim_{x \to 0^-} 1-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} = 1$

Vi kan ju också observera att kommande derivatator kommer alla att vara på formen

$e^{\frac{1}{x}} \frac{p(x)}{q(x)}$

där $p$ och $q$  är polynom och  $q$ har högre grad. Dessa fås ju av att applicera produkt eller kvotregeln på termen $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$.

Alla dessa kommande derivator kommer också att ha ett gränsvärde

$\lim_{x\to0^-} \frac{d^n}{dx^n} f(x)=0, n > 1$

Alltså är ju funktionen då oändligt deriverbar då alla derivator har samma gränsvärde för $x=0$.

Kan vara så att jag har gjort något fel och att denna funktion inte alls fungerar!

Jag kan faktiskt inte hitta någonting som är fel med logiken, det ser ut att fungera.

Det fungerar, man skulle egentligen kolla derivatan för x = 0 med definitionen av derivata snarare än gränsvärden för derivatorna då x -> 0 men det är mer av en teknikalitet.

Missar lite på min originalfrågeställning, men är nästan ännu coolare som är linjär olinjär och linjär, dock mindre cool då den är konstant istället.

En sak som svarar på min fråga väldigt bra är ”testfunktioner”, som är släta funktioner med kompakt stöd. Stöd (för reellvärda funktioner) betyder delmångder av R där funktionen inte antar värdet noll.

Per definition kommer alltså funktionen vara linjär (konstant) utanför sitt stöd och olinjär i sitt stöd!

Hittad i Introduction to Hilbert Spaces with applications av Debnath:

Denna fråga är mer spännande i komplex analys, där ger linearitet (i meningen "az+b") lokalt även linearitet globalt.

Kan du utveckla? Går det inte att styckvis definiera komplexa funktioner?

Här är en till:

https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function