Analys: minsta övre gräns

Bump

Det korta svaret är att en övre gräns måste ligga i det "universum" vi jobbar i, och att det är därför det stor roll om detta universum är $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{Q}$. Men detta är inte nödvändigtvis samma sak som mängden som förekommer innanför mängdklamrarna, utan det måste specificeras. Så så som påståendet är formulerat i ursprungsinlägget är det lite oklart.

Men låt oss vara lite mer precisa! Det blir nästan enklast att förstå vad "övre gräns" betyder om man tittar på den abstrakta definitionen. För att göra det behöver vi introducera begreppet partiellt ordnad mängd som du kanske inte har stött på tidigare.

En partiellt ordnad mängd är en mängd $X$ utrustad med extra struktur i form av en ordningsrelation $\preccurlyeq$ som uppfyller vissa krav (kolla gärna upp på Wikipedia), och som - lite vagt uttryckt - gör det möjligt att jämföra vissa (men inte nödvändigtvis alla) elementens "storlek" i någon slags abstrakt bemärkelse. Vi behöver inte gå in på detaljerna här, och för all del kan du bara tänka dig att $\preccurlyeq$ är den vanliga "mindre än eller lika med"-relationen mellan tal i det som följer.

Låt nu $(X,\preccurlyeq)$ vara en partiellt ordnad mängd, och låt $A\subseteq X$ vara en delmängd. En övre gräns till  $A$ är då ett element $m\in X$ sådant att $a\preccurlyeq m$ för alla $a\in A$.

Exempel 1: Betrakta den partiellt ordnade mängden $(\mathbb{Q},\leqslant)$ (där $\leqslant$ är den vanliga "mindre än eller lika med"-relationen), med delmängden $A=\{a\in\mathbb{Q}:a<\sqrt{2}\}\subseteq \mathbb{Q}$. 

Vi kan direkt notera att $A$ har massa tänkbara övre gränser, t.ex. $87.2$, $3$, $1.5$ eller $13/9$. Men finns det någon minsta övre gräns? Svaret på det är nej. Oavsett vilket rationellt tal $m>\sqrt{2}$ vi än hittar på, så kan vi alltid hitta ett ännu mindre rationellt tal som fortfarande är större än $\sqrt{2}$.

Exempel 2:  Om vi nu i stället går över till den partiellt ordnande mängden $(\mathbb{R},\leqslant)$ (där $\leqslant$ återigen är den vanliga "mindre än eller lika med"-relationen), och fortsatt låter $A=\{a\in\mathbb{Q}:a<\sqrt{2}\}\subseteq\mathbb{R}$, så kommer situationen bli annorlunda.

Eftersom $A$ helt uppenbart är icke-tom (exv. gäller $0\in A$), och har övre gränser (t.ex. $87.2$, $\pi$ och $2$), så säger supremumaxiomet att det garanterat måste finnas en minsta övre gräns i $\mathbb{R}$. Och det är ju enkelt att se att denna minsta övre gräns är just $\sqrt{2}$.

Exempel 3: Vi fortsätter att jobba i $(\mathbb{R},\leqslant)$, men betraktar nu delmängden $B=\{a\in\mathbb{R}:a<\sqrt{2}\}\subseteq\mathbb{R}$. Detta gör ingen skillnad! Det finns fortfarande en minsta övre gräns, och denna är fortfarande $\sqrt{2}$.

Ah, den är biten med "...$\subset \mathrm{\mathbb{Q}}$" som gör att mängden A i exempel 1 inte har en minsta övre gräns. I exempel 2 så skriver du ju "$\subset \mathrm{ℝ}$" (och det gör att den har en minsta övre gräns), detta observerade jag inte.

Men vad betyder "partiellt"? Varför inte helt enkelt kalla den för en ordnad mängd?

Precis! Det spelar roll om vi tänker oss att mängden $A$ ligger i "universumet" $\mathbb{Q}$ eller i "universumet" $\mathbb{R}$. (Uppdaterade mitt förra inlägg med lite allmänt flum om detta.)

"Partiellt ordnad" säger man för att man vill skilja det från det starkare begreppet "totalt ordnad", där man dessutom kräver att alla element i mängden är jämförbara, i bemärkelsen att för alla $x,y\in X$ så gäller $x\preccurlyeq y$ eller $y\preccurlyeq x$. Den vanliga "mindre än eller lika med"-relationen är en total ordningsrelation, så just i det här fallet behöver vi inte bekymra oss om detta.

Ett exempel på en partiellt ordnad mängd som inte är totalt ordnad är $(\mathcal{P}(\mathbb{Z}),\subseteq)$. Här är $\mathcal{P}(\mathbb{Z})$ mängden av alla delmängder av heltalen (mängder av mängder kan vara lite förvirrande att tänka på, så här gäller det att hålla tungan rätt i mun!), och $\subseteq$ den vanliga delmängdsrelationen. Exempelvis gäller $\{2,5\}\subseteq\{2,3,5\}$ och $\{5,7,19\}\subseteq \{\text{udda heltal}\}$. Men elementen $\{1,2,3\}$ och $\{3,8,7,101\}$ är inte jämförbara i $(\mathcal{P}(\mathbb{Z}),\subseteq)$.

Frågor att fundera på:

• Har mängden $A=\{\{1,2,3\},{2,3,5\},\{1,2,3\},\{3,8,7,101\}\}$ någon minsta övre gräns i $(\mathcal{P}(\mathbb{Z}),\subseteq)$?
• Har mängden $B=\{\{0\}, \{0,2\},\{0,2,4\},\{0,2,4,6\},\{0,2,4,6,8\},\ldots\}$ någon minsta övre gräns i $(\mathcal{P}(\mathbb{Z}),\subseteq)$?

Det här är alltså också en "struktur" som en mängd kan ha? Det är första gången jag ser det, jag är så inne på linjär algebra grejer med funktioner till andra mängder och så istället för relationer mellan elementen i mängden.

Då förstår jag. Ja, bra exempel. Den minsta övre gränsen (elementet, alltså mängden) är den som innehåller alla elementen som finns i någon mängd? Alltså unionen av allihop. En övre gräns som är "onödigt stor" är R, eller varför inte C.

Jag förstår vad du vill säga med andra uppgiften, men kan man inte bara säga mängden av alla jämna heltal? Den är inte ändlig, men det har du väl inte sagt att den ska vara. Jag tycker inte att det här är analogt med rot(2) och rationella tal.

Edit: och ja, det är fortfarande en delmängd av P(Z)!

Bra! Oavsett vilken icke-tom delmängd av $\mathcal{P}(\mathbb{Z})$ som vi väljer, så kommer den ha en minsta övre gräns, nämligen unionen av den ingående mängderna. Så mängden $A$ har elementet $\{1,2,3,5,7,8,101\}$ som minsta övre gräns, och mängden $B$ har elementet $\{0,2,4,6,\ldots\}$ (alltså mängden av alla icke-negativa jämna heltal) som minsta övre gräns.

Notera dock att $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$ inte räknas som övre gränser i det här fallet. Kom ihåg att en övre gräns måste vara ett element i vårt "universum", som i detta fallet är $\mathcal{P}(\mathbb{Z})$.

Och absolut, det här har egentligen inte så mycket att göra med $\sqrt{2}$-exemplet som tråden egentligen handlar om. Ville bara kolla så du hängde med! :)

Åh nej jag trodde att du ville säga att B inte hade en minsta övre gräns, för att även visa ett exempel där det inte finns någon MÖG. Men att det alltid finns en MÖG är minst lika intressant, och det tänkte jag inte på förrän du sa det.

Edit: för den här (P(Z), ⊆) menar jag såklart. Uppenbarligen har inte alla (A, ≺) en MÖG

Det är bra att du lägger citat runt "storlek", det kan vara mycket mer abstrakt än så. Är detta tex giltigt? (ℤ, ≺) där ≺ jämför hur många bokstäver siffran har i på vanlig svenska? Tjugo → 5. Har denna en minsta övre gräns? Nej!

Jag tycker att det är lite speciellt det där med rot2 och Q i den meningen att MÖG kan läggas till i tex ⊆ℚ∩{√(2)}  eller bara välja ⊆ℝ. Men om MÖG är ∞ så finns den inte oavsett vilken ⊆M vi väljer.

[...] att det alltid finns en MÖG är minst lika intressant, och det tänkte jag inte på förrän du sa det.

Mjo, att varje delmängd av $(\mathcal{P}(\mathbb{Z}),\subseteq)$ har en minsta övre gräns är verkligen en rätt speciell egenskap. Och inte bara det: man kan dessutom visa att varje delmängd har en största mindre undre gräns. (Hur får man fram den?)

Och absolut, ditt förslag på partiell ordning av de postiva heltalen uppfyller kraven för att vara en partiell ordning. Ytterligare ett exempel på en partiell ordning på $\mathbb{Z}^+$ får vi om vi bestämmer att $a\preccurlyeq b$ omm $a$ är en delare i $b$. (Verifiera gärna att detta är en partiell ordning.) Så ja, partiella ordningar (och tillhörande begrepp som övre gräns, maximala element osv.) är rätt generella, och kan användas för att beskriva väldigt många matematiska fenomen. 

Men nej, nu har jag nog sidetrackat den här tråden tillräcklig, och du borde kanske återgå till att fundera på supremumegenskapen hos $\mathbb{R}$... ^_^

Här finns i så fall en bra genomgång:

http://matematikblogg.se/endim/documents/kontinuitet.pdf.

Vadå? Du menar största undre gräns? Det gjorde ont i hjärnan (i minst fem minuter), du brukar inte skriva fel, eller så märker jag inte det.

Ja, jag måste raskt återvända till analysgrejer. Om denna diskussion tillåts pågå så kanske jag blir intresserad av diskret matte, vilken ryslig tanke

Helt rätt! Största undre gräns ska det vara.

Ett litet fun fact till kan vi kanske ändå trycka in: Betrakta återigen den partiella "delbarhets"-ordningen $\preccurlyeq$ på $\mathbb{Z}^+$ (definierad så att $a\preccurlyeq b$ omm $a\mid b$).  Låt $A=\{a_1,\ldots,a_n\}\subseteq\mathbb{Z}^+$ vara en ändlig delmängd. Då kommer alltid både en minsta övre gräns och en största undre gräns att existera! Ser du kanske direkt vad de är för något? (Ledtråd: Tänk på primtalsutvecklingar!)

Hmm den facten var väl inte så fun? Det var väldigt långt från analysens grunder det där haha.

a1a2a3...an (multiplikation) är då alltid en övre gräns, och 1 alltid en undre gräns? Känns analogt med partiella ordningen med delmängder...

Ett (1) är undre gräns till alla A⊆ℤ, men det finns inget tal som är övre gräns till alla sådana A?

Mycket bra observationer! ^_^

Produkten är alltid en övre gräns för ändliga delmängder $A\subseteq\mathbb{Z}^+$ (men om $A$ är en oändlig mängd kommer övre gräns saknas). Elementet 1 är å andra sidan alltid är en undre gräns (även om $A$ är oändlig).

Och absolut! Det finns en lite mystisk likhet mellan $(\mathbb{Z}^+,\preccurlyeq)$ och $(\mathcal{P}(\mathbb{Z}),\subseteq)$. Ett sätt att göra detta precist skulle kunna vara att ta fasta ännu mer på det här med primtalsutvecklingar, och "formulera om" $(\mathbb{Z}^+,\preccurlyeq)$ till mängden av alla ändliga multimängder av primtal (en multimängd är en mängd där man tillåter flera kopior av ett och samma element, vilket vi behöver eftersom varje primtal kan förekomma fler än en gång i en primtalsutveckling), partiellt ordnad med "delmultimängds-relationen".

Exempel: Faktumet att $12\mid 84$ motsvarar på detta vis inklusionen $\{2,2,3\}\subseteq \{2,2,3,7\}$, samtidigt som GCD motsvarar multimängdssnittet och LCM motsvarar multimängdsunionen.

Sidenote: Att $(\mathbb{Z}^+,\preccurlyeq)$ och "mängden av alla ändliga multimängder av primtal partiellt ordnad med inklusion" är två inkarnationer av en och samma idé kan med lite mer fancy språkbruk uttryckas som att de är isomorfa i kategorin av partiellt ordnade mängder. Isomorfin består helt enkelt av att varje positivt heltal mappas till multimängden av primtalsfaktorerna som ingår i dess (unika!) pritmalsfaktorerisering. (Ett litet specialfall är att 1  mappas till den tomma mängden.) Så här har du ytterligare ett exempel på en isomorfi till din tråd om vad en isomorfi egentligen är för något!

Åh exakt, fett coolt. Men då ska väl det finnas en (eller hur många som helst) etta i den mängden också?

Så bijektionen blir alltså... {a1, a2... an} -> a1*a2...*an? Och den går att vända på på grund av aritmetikens fundamentalsats! (Där vi lägger till en etta).

Edit: haha, se på min oberoende upptäckt! Vi redigerar i efterhand så det ryker. Men hur gör vi egentligen med ettan?

Bra observerat! ^_^

Det är mycket riktigt artimetikens fundamentalsats som garanterar att vår mappning faktiskt är en bijektion.

Och ja, som du ser så förekom jag de flesta av dina frågor i min senaste editering, men det är viktiga subtiliteter, så det tåls att förklaras ordentligt:

• Vår bijektion parar mycket riktigt ihop en multimängd $\{p_1,\ldots,p_n\}$ av primtal med det positiva heltalet $p_1\cdots p_n$.
• Talet 1 är inte ett primtal i min värld, så det ställer inte till med några problem i multimängdsversionen av vår partiellt ordnande mängd. Men visst, det finns tyvärr folk där ute i världen som med bestämdhet hävdar det (med mer eller mindre dåliga argument), och med deras synsett hade vi mycket riktigt kunnat inkludera hur många 1:or som helst i våra multimängder, vilket hade sabbat bijektionen.
• Däremot måste vi vara försiktiga med vilken multimängd som det positiva heltalet 1 ska paras ihop med. Där tänker jag mig att vi tar den tomma mängden $\varnothing$, eftersom det är standard nästan överallt i matematiken att betrakta en "tom produkt" (alltså en produkt "utan faktorer") som just talet 1.

Ja, 1 är inte ett primtal. Då måste det ju i definitionen av ≽ ingå att a är ett primtal? Eller ingår det i delbarhetsbegreppet? Det där med att 1 allid är en undre gräns som jag sa innan måste väl gälla? Den egenskapen bygger på att 1 är medlem i alla multimängder, så att när man tar snittet så finns alltid ettan.

Edit: nu, när jag skriver detta, kl 02:07, vill jag gå och lägga mig. Ifall du höll på att skriva så ser jag fram emot att läsa på morgonen. Godnatt!

Jag tror du rör ihop det lite!

Vi har alltså två partiellt ordnade mängder $(\mathbb{Z}^+,\preccurlyeq)$ och $(\mathcal{M}(P),\subseteq)$, där $\mathcal{M}(P)$ är mängden av alla ändliga multimängder av primtal (finns nog ingen bra standardnotation för det). Dessa två partiellt ordnande mängder är isomorfa genom den mappning som vi just har diskuterat.

Påståendet att heltalet $1$ är en undre gräns för alla delmängder av $\mathbb{Z}^+$ motsvaras nu precis av påståendet att multimängden $\varnothing$ är en undre gräns för alla delmängder av $\mathcal{M}(P)$.

Eller annorlunda uttryckt: faktumet att $1$ är en delare i alla positiva heltal motsvaras av att $\varnothing$ är en delmultimängd av alla ändliga multimängder av primtal.

Att sova på saken låter klokt! Även om idén i någon mening är enkel (vi leker bara runt lite med vad som händer när man kombinerar aritmetikens fundamentalsats med terminologin för partiellt ordnade mängder) så är det ändå lätt att gå lite vilse bland alla mängder (av mängder) och relationer :)

Nu läste jag det. Hmm men jag måste sova på saken.

Edit: ja det var ett bra ekvivalent påstående!

Det makear mycket sense, och samtidigt kom jag på nåt.

Låt oss bilda Z+ genom isomorfin T: V->Z, T(a1,a2...,an) ----> e1^a1*e2^a2...en^an där V är det oändligtdimensionella vektorrummet som spänns upp av alla primtal {e1, e2... en} över Z+ som kropp. En addition av vektorer motsvarar en multiplikation av tal i Z. Multiplikation med skalär motsvarar att ta en potens i Z. Ett (1) bildas av nollvektorn. Ah, allt ser färdigt ut, känns som jag byggt färdigt ett hus.

Jag vet inte om jag får kalla T för en isomorfism, men det är i alla fall en bijektion. Jag har här alltså gjort om våra multimängder till vektorer istället.

Vad för intressant kan vi göra med denna struktur?

Det är en intressant tanke, men vi måste vara lite försiktiga. Dels så vill vi nog inte tillåta negativa exponenter (om vi inte vill ge oss in på att inkludera rationella tal i detta), och då får vi problemet att vi inte kan subtrahera våra vektorer. Dels kommer våra skalärer inte ha någon multiplikativ invers (så de kommer inte bilda någon kropp). Så vi kommer nog inte kunna få ihop detta till ett vektorrum (eller ens en modul).

Men, du är ändå något intressant på spåren, så till vida att $(\mathcal{M}(P),+)$ (tolkad som den så kallade fria kommutativa monoiden över primtalen, som i sin tur kan identifieras med mängden oändliga tuplar av icke-negativa heltal, indexerade med primtalen, där alla utom ändligt många komponenter är nollskilda, och där additionen sker komponentvist) är isomorf med $(\mathbb{Z}^+,\cdot)$ i kategorin av monoider (en slags väldigt fattiga algebraiska objekt, där det enda vi kräver är associativitet och existens av ett identitetselement). Om vi ordnar primtalen i storleksordning så blir isomorfin $(k_1,k_2,k_3,\ldots)\mapsto 2^{k_1}\cdot 3^{k_2}\cdot 5^{k_3}\cdots$.

Tyvärr har jag lite för mycket annat att göra idag för att hinna förklara detta mer ordentligt. Men en sammanfattning av var vi har gjort hittils är att vi har sett att artimetikens fundamentalsats ger upphov till en snygg isomorfi både i kategorin av partiellt ordnande mängder och i kategorin av monoider. Det har jag aldrig tänkt på förut, och får väl sägas vara lite coolt ändå (även om det mest handlar om en väldigt fancy beskrivning av mellanstadiematte). 

oggih skrev:

$(\mathcal{M}(P),+)$ är isomorf med $(\mathbb{Z}^+,\cdot)$ i kategorin av monoider

Nej, du behöver inte förklara närmare. Makear sense redan.

...mest handlar om en väldigt fancy beskrivning av mellanstadiematte

Jag tycker att det är ännu coolare när något enkelt generaliseras/beskrivs på ett svårt sätt än när en svår sak beskrivs på ett svårt sätt!