Analys i en variabel - Värdemängd

Ja det är en möjlig väg. Värdemängden kan ses som de värden y för vilka ekvationen g(x) = y har lösningar x som ligger i D_g.

Vi har således ekvationen 

$\sqrt{3x-x^2}=y$

Först kan vi notera att om y är mindre än 0 så kan det inte finnas någon lösning, eftersom rotuttrycket inte kan bli negativt. Så vi bör begränsa oss till värden på y som är större än eller lika med 0.

Vi kan nu göra som du säger och kvadrera och se på för vilka värden på y som ekvationen har lösningar x i D_g. Du får en andragradare i x.

Du kan också känna igen funktionen som positiva halvcirkeln med radie 1.5 flyttad 1.5 steg till höger:

$y =\sqrt{3x-x^2}=\sqrt{1.5^2-(x-1.5)^2}$

Då får du enkelt ut värdemängden.

Ett tredje sätt är att derivera g(x) och leta efter stationära punkter. Minsta och största värdet hittas sedan antingen i någon av de stationära punkterna eller vid intervallets ändpunkter.

PATENTERAMERA skrev:

Ja det är en möjlig väg. Värdemängden kan ses som de värden y för vilka ekvationen g(x) = y har lösningar x som ligger i D_g.

Vi har således ekvationen 

$\sqrt{3x-x^2}=y$

Först kan vi notera att om y är mindre än 0 så kan det inte finnas någon lösning, eftersom rotuttrycket inte kan bli negativt. Så vi bör begränsa oss till värden på y som är större än eller lika med 0.

Vi kan nu göra som du säger och kvadrera och se på för vilka värden på y som ekvationen har lösningar x i D_g. Du får en andragradare i x.

Jag kommer så här långt med kvadratkompletteringen. Men jag begriper fortfarande inte hur jag ska få värdemängden. Tacksam för hjälp 

Ebola skrev:

Du kan också känna igen funktionen som positiva halvcirkeln med radie 1.5 flyttad 1.5 steg till höger:

$y =\sqrt{3x-x^2}=\sqrt{1.5^2-(x-1.5)^2}$

Då får du enkelt ut värdemängden.

Jo, det är sant men jag vill försöka lösa ut det här på ett så generellt sett som möjligt. Som du ser har jag kommit en bit. Men jag vet inte hur jag ska komma vidare 

Yngve skrev:

Ett tredje sätt är att derivera g(x) och leta efter stationära punkter. Minsta och största värdet hittas sedan antingen i någon av de stationära punkterna eller vid intervallets ändpunkter.

Det är också ett sätt men just nu skall vi kunna lösa uppgiften utan att implementera derivata 

kevinxDD skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Ja det är en möjlig väg. Värdemängden kan ses som de värden y för vilka ekvationen g(x) = y har lösningar x som ligger i D_g.

Vi har således ekvationen 

$\sqrt{3x-x^2}=y$

Först kan vi notera att om y är mindre än 0 så kan det inte finnas någon lösning, eftersom rotuttrycket inte kan bli negativt. Så vi bör begränsa oss till värden på y som är större än eller lika med 0.

Vi kan nu göra som du säger och kvadrera och se på för vilka värden på y som ekvationen har lösningar x i D_g. Du får en andragradare i x.

Jag kommer så här långt med kvadratkompletteringen. Men jag begriper fortfarande inte hur jag ska få värdemängden. Tacksam för hjälp 

Lös andragradaren för x och kolla för vilka värden på y som lösning existerar i D_g. Kom i håg att y inte får vara negativt. Möjliga värden på y är värdemängden.

kevinxDD skrev:

Hej,

Jag är helt lost i en fråga som jag först bedömde som lätt, innan jag insåg att jag behövde söka hjälp. 

Frågan lyder: Bestäm definitionsmängden Dg och värdemängden Vg för den funktion g som ges genom 

g(x)=sqrt(3x-x^2)

Definitionsmängden fick jag till [0,3] <=> 0 <= x <= 3

Men jag har ingen aning hur jag ska räkna ut värdemängden. Jag har ju g(x) = y = sqrt(3x-x^2) men jag kommer inte vidare. Jag kan ju ta y i kvadrat för att ta bort kvadratroten, men sen då? 

Vet ej om du fått svar som du nöjd med, men precis som patentamera skriver, det under rotuttrycket är bara definierar för $-x^2+3x\geq 0 \Leftrightarrow x^2-3x=x(x-3)\leq 0$ som sant för $0\leq x\leq 3$.

$D_f=[0,3]$.

Värdemängen?

$V_f=[0,\frac{3}{2}]$

Stuart skrev:

kevinxDD skrev:

Hej,

Jag är helt lost i en fråga som jag först bedömde som lätt, innan jag insåg att jag behövde söka hjälp. 

Frågan lyder: Bestäm definitionsmängden Dg och värdemängden Vg för den funktion g som ges genom 

g(x)=sqrt(3x-x^2)

Definitionsmängden fick jag till [0,3] <=> 0 <= x <= 3

Men jag har ingen aning hur jag ska räkna ut värdemängden. Jag har ju g(x) = y = sqrt(3x-x^2) men jag kommer inte vidare. Jag kan ju ta y i kvadrat för att ta bort kvadratroten, men sen då? 

Vet ej om du fått svar som du nöjd med, men precis som patentamera skriver, det under rotuttrycket är bara definierar för $-x^2+3x\geq 0 \Leftrightarrow x^2-3x=x(x-3)\leq 0$ som sant för $x<0$ och $x<3$.

Stuart skrev:

Stuart skrev:

Visa föregående citat

kevinxDD skrev:

Hej,

Jag är helt lost i en fråga som jag först bedömde som lätt, innan jag insåg att jag behövde söka hjälp. 

Frågan lyder: Bestäm definitionsmängden Dg och värdemängden Vg för den funktion g som ges genom 

g(x)=sqrt(3x-x^2)

Definitionsmängden fick jag till [0,3] <=> 0 <= x <= 3

Men jag har ingen aning hur jag ska räkna ut värdemängden. Jag har ju g(x) = y = sqrt(3x-x^2) men jag kommer inte vidare. Jag kan ju ta y i kvadrat för att ta bort kvadratroten, men sen då? 

Vet ej om du fått svar som du nöjd med, men precis som patentamera skriver, det under rotuttrycket är bara definierar för $-x^2+3x\geq 0 \Leftrightarrow x^2-3x=x(x-3)\leq 0$ som sant för $0\leq x\leq 3$

Stuart skrev:

Stuart skrev:

Visa föregående citat

Stuart skrev:

kevinxDD skrev:

Hej,

Jag är helt lost i en fråga som jag först bedömde som lätt, innan jag insåg att jag behövde söka hjälp. 

Frågan lyder: Bestäm definitionsmängden Dg och värdemängden Vg för den funktion g som ges genom 

g(x)=sqrt(3x-x^2)

Definitionsmängden fick jag till [0,3] <=> 0 <= x <= 3

Men jag har ingen aning hur jag ska räkna ut värdemängden. Jag har ju g(x) = y = sqrt(3x-x^2) men jag kommer inte vidare. Jag kan ju ta y i kvadrat för att ta bort kvadratroten, men sen då? 

Vet ej om du fått svar som du nöjd med, men precis som patentamera skriver, det under rotuttrycket är bara definierar för $-x^2+3x\geq 0 \Leftrightarrow x^2-3x=x(x-3)\leq 0$ som sant för $x<0$ och $x>3$.

Om du löser ekvationen så får du x = 3/2 $\pm \sqrt{\frac{9}{4}-y^2}$. Ett krav för (reell) lösning är y² $\le$ 9/4. Dvs 0 $\le$ y $\le$ 3/2 - om vi också tar hänsyn till kravet att y inte får vara negativt. Det är enkelt att inse att för dessa värden på y så ligger x i D_g. Så V_g = [0, 3/2].

Men titta även på Ebolas och Yngves lösningsförslag. De är lite mer konventionella. Den metoden som vi utnyttjade här fungerar bara när vi har relativt enkla funktionsuttryck, eftersom vi måste lösa en ekvation som kan bli knepigt för mer komplexa funktionsuttryck.