Analys i en variabel uppgift 0.80

För att kvoten skall vara positiv krävs att täljaren och nämnare har samma tecken. Jag skulle börja med att undersöka för vilka värden på x detta är sant, och därefter dela upp olikheten i olika fall, multiplicera båda led med VL:s nämnare (byta håll på olikhetstecknet om nämnaren är negativ) och förenkla, så borde det bli mindre jobbiga beräkningar.

Jag har svårt att följa dina beräkningar, det ser liksom inte ut som att du försöker lösa en olikhet.

Det första steget bör vara att avgöra för vilka x VL är definierad, eller för vilka x VL inte är definierad.

Sedan skulle jag avgöra för vilka x nämnaren i VL är $\ge 0.$

För när nämnaren i VL är $\ge 0$kan vi göra omskrivningen

$\frac{2x^2+3x-6}{x^2-2}>4 \to 2x^2+3x-6>4(x^2-2)$

vilket kan lösas mha förenklingar. 

Sedan får du behandla fallet när nämnaren i VL < 0 på analogt sätt.

Smaragdalena skrev:

För att kvoten skall vara positiv krävs att täljaren och nämnare har samma tecken. Jag skulle börja med att undersöka för vilka värden på x detta är sant, och därefter dela upp olikheten i olika fall, multiplicera båda led med VL:s nämnare (byta håll på olikhetstecknet om nämnaren är negativ) och förenkla, så borde det bli mindre jobbiga beräkningar.

Tack för tipset.

När det gäller att multiplicera med x²-2 så kan tecken bytas men den här ekvationen är krånglig och vi vet inte åt vilket håll olikheten kommer att vara därför är min teori och bokens att sådan multiplikation ska undvikas.

ur ekvationen 2x²+3x-6 = 0

vilket ger mig rötterna se beräkning

vilket verkar vara fel/ konstiga

$$\begin{gathered} 4\left(x^2-2\right)=0 \\ {x}_1=-\sqrt{2} \\ {x}_2=\sqrt{2} \end{gathered}$$

Detta ger 2 rötter, men fortfarande så fås inte de andra rötterna som i facit

Frågan är varför du ska lösa den ekvationen, eller varför du överhuvudtaget ska lösa ekvationer. Det är en olikhet inte en ekvation.

Du får efter förenkling och kvadratkomplettering:

$$\begin{gathered} 2x^2+3x-6 >4(x^2-2) \iff \\ 2x^2+3x-6 >4x^2-8 \iff \\ 2>2x^2-3x \iff \\ 1> x^2-\frac{3}{2}x \iff \\ \raisebox{1ex}{$25$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$16 >x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{9}{16}}={(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2$}\right. \end{gathered}$$

Kan du lösa olikheten därifrån? Detta är alltså fallet då $x^2-2>0.$

$$\begin{gathered} 2x^2+3x-6=4(x^2-2) \\ detta ger \\ {x}^2-\frac{3x}{2}-1=0 \\ {x}_1=2 \\ {x}_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Här har jag nu två andra rötter från båda ekvationerna tillsammans 

Smutsmunnen skrev:

Frågan är varför du ska lösa den ekvationen, eller varför du överhuvudtaget ska lösa ekvationer. Det är en olikhet inte en ekvation.

Du får efter förenkling och kvadratkomplettering:

$$\begin{gathered} 2x^2+3x-6 >4(x^2-2) \iff \\ 2x^2+3x-6 >4x^2-8 \iff \\ 2>2x^2-3x \iff \\ 1> x^2-\frac{3}{2}x \iff \\ \raisebox{1ex}{$25$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$16 >x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{9}{16}}={(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2$}\right. \end{gathered}$$

Kan du lösa olikheten därifrån? Detta är alltså fallet då $x^2-2>0.$

genom att lösa ekvationerna så får jag rötterna  och genom teckenstudie så kan man lista för vilka x det gäller.

Nu har vi x: 2, -1/2, $\sqrt{2}$,$-\sqrt{2}$

Gör man livet enkelt eller svårt för sig om man löser såna frågor mha teckentabell istället? Går man igenom detta i kursboken för just olikheter?

Ja det finns alltid flera vägar, men första kapitlet i Calculus som många använder handlar om gränsvärden. Så det är bland det första man går igenom i kursen envariabel.
Där får man mer djupgående förklaringar till hur man tar fram lodräta asymptoter till rationella funktioner. Alltså en sådan funktion som vänsterledet består av. I det här fallet ganska simpelt då vi genast anar två asymptoter.
En vid $\sqrt{2}$och en vid $-\sqrt{2}$dvs där nämnaren blir noll. Då undersöker vi vad som händer när $x\to {\sqrt{2}}^{+}$ och vad som händer vid $x\to {\sqrt{2}}^{-}$. Samma sak studeras vid $-\sqrt{2}$.
Några värden för X tas fram. T.ex. 0, 1, och -1.
För att få fram de två andra gränsvärdena så kan man sätta H.L = V.L. och lösa det.
Nu kan man snart grovskissa funktionen i vänsterledet och funktionen i högerledet är ju kort och gott 4.
Då kan vi tala om i vilka intervall vi hittar giltiga x-värden.