Analys i En Variabel - Kontinuerliga Funktioner (Matematik/Universitet)

Det ska nog vara x^3 och inte x^2, kan du dubbelkolla? När du dubbelkolla och fixat till det så kan vi börja diskutera hur man resonerar/ löser dessa typer av uppgifter. :)

Låt f(x) vara V.L. Då är f(0)=-5 och f(1)=+3. f är ett polynom och därför kontinuerlig på hela R. Således är f:s bild av det givna intervallet sammanhängande. f är skild från 0 i randpunkterna, varför f(a)=0 för minst ett a i det givna intervallet. a är den sökta roten.

Not. Du behöver inte bestämma roten, bara visa att det finns en i intervallet. Ovanst. resonemang räcker således.

Dracaena skrev:
Det ska nog vara x^3 och inte x^2, kan du dubbelkolla? När du dubbelkolla och fixat till det så kan vi börja diskutera hur man resonerar/ löser dessa typer av uppgifter. :)

Oh damn.. nu har jag fixat det, tack för att peka ut!

Jag utgick från Dracaenas notering, för annars skulle vi ha en andragradsekvation och då ställs inte en sådan fråga på ett universitet.

Bryan skrev:
Dracaena skrev:
Det ska nog vara x^3 och inte x^2, kan du dubbelkolla? När du dubbelkolla och fixat till det så kan vi börja diskutera hur man resonerar/ löser dessa typer av uppgifter. :)

Oh damn.. nu har jag fixat det, tack för att peka ut!

Skriv gärna rättelsen i ett nytt inlägg, och låt originalinlägget vara orört, så blir det mindre rörigt i tråden. /Smutstvätt, moderator

Tomten skrev:
Jag utgick från Dracaenas notering, för annars skulle vi ha en andragradsekvation och då ställs inte en sådan fråga på ett universitet.

Tack! jag ska läsa noga vad du skrev och försöka förstå den!

Smutstvätt skrev:
Bryan skrev:
Dracaena skrev:
Det ska nog vara x^3 och inte x^2, kan du dubbelkolla? När du dubbelkolla och fixat till det så kan vi börja diskutera hur man resonerar/ löser dessa typer av uppgifter. :)

Oh damn.. nu har jag fixat det, tack för att peka ut!

Skriv gärna rättelsen i ett nytt inlägg, och låt originalinlägget vara orört, så blir det mindre rörigt i tråden. /Smutstvätt, moderator

Ska jag då posta ett nytt tråd med den rätta frågan?? :) eller ska jag redigera posten och skriva under att det är x^3 och inte x^2? :)

Fortsätt här i tråden, men gör ett nytt inlägg med en rättelse, eller skriv rättelsen under. Tanken är bara att det ska vara lätt för alla att förstå vad respektive inlägg handlar om. Det är ingen stor grej, men en liten påminnelse. :)

Satsen om mellanliggande värde är väldigt användbar för den här typen av uppgifter!

Satsen om mellanliggande värde. Låt $f: [a,b]\to\mathbb{R}$ vara en kontinuerlig funktion, och låt $v\in\mathbb{R}$ vara ett värde mellan $f(a)$ och $f(b)$ . Då finns det ett tal $c\in (a,b)$ sådant att $f(c)=v$ .

Tomten skrev:
Låt f(x) vara V.L. Då är f(0)=-5 och f(1)=+3. f är ett polynom och därför kontinuerlig på hela R. Således är f:s bild av det givna intervallet sammanhängande.

Okej! så jag sätter intervallet på det här sättet:

$f (0) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 5 = 0 - 5 = - 5 f (1) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 5 = 1 + 3 + 4 - 5 = 3$ och eftersom det är ett polynom funktion så kan vi avgöra att den är kontinuerligt, vilket i sin tur innebär att det finns ett x för varje y i intervallet. Right??

oggih skrev:
Satsen om mellanliggande värde är väldigt användbar för den här typen av uppgifter!

Satsen om mellanliggande värde. Låt $f: [a,b]\to\mathbb{R}$ vara en kontinuerlig funktion, och låt $v\in\mathbb{R}$ vara ett värde mellan $f(a)$ och $f(b)$ . Då finns det ett tal $c\in (a,b)$ sådant att $f(c)=v$ .

Denna sats kommer inte jag glömma bort. Tack för hjälpen! :)

Smutstvätt skrev:
Fortsätt här i tråden, men gör ett nytt inlägg med en rättelse, eller skriv rättelsen under. Tanken är bara att det ska vara lätt för alla att förstå vad respektive inlägg handlar om. Det är ingen stor grej, men en liten påminnelse. :)

Okej, hoppas jag gjorde rätt nu! :)

Bryan skrev:
Tomten skrev:
Låt f(x) vara V.L. Då är f(0)=-5 och f(1)=+3. f är ett polynom och därför kontinuerlig på hela R. Således är f:s bild av det givna intervallet sammanhängande.

Okej! så jag sätter intervallet på det här sättet:

$f (0) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 5 = 0 - 5 = - 5 f (1) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 5 = 1 + 3 + 4 - 5 = 3$ och eftersom det är ett polynom funktion så kan vi avgöra att den är kontinuerligt, vilket i sin tur innebär att det finns ett x för varje y i intervallet. Right??

Du ska visa att det finns en rot mellan $0<x<1$ . Gör såhär. Rita upp x och y - axlar och pricka ut -5 och 3, ser du då varför det måste finnas en rot i intervallet $0<x<1$ ?

Oggih och Tomten har redan sagt detta men du verkar svara på någon helt annat än vad uppgiften frågar. Du verkar upphakad på kontinuitet men man frågar inte om $f(x)$ är kontinuerlig.

Edit: jag läste slarvigt, jag hänger med på ditt tänk.

Bryan skrev:
Smutstvätt skrev:
Fortsätt här i tråden, men gör ett nytt inlägg med en rättelse, eller skriv rättelsen under. Tanken är bara att det ska vara lätt för alla att förstå vad respektive inlägg handlar om. Det är ingen stor grej, men en liten påminnelse. :)

Okej, hoppas jag gjorde rätt nu! :)

Perfekt! :)

Du ska visa att det finns en rot mellan $0 < x < 1$ . Gör såhär. Rita upp x och y - axlar och pricka ut -5 och 3, ser du då varför det måste finnas en rot i intervallet $0 < x < 1$ ?

Hmm... jag tror att jag verkar inte förstå vad som menas med "rot", skulle ni kunna förklara vad uppgiften menar med rot :)

En ekvations rötter är vad nollställen är till en funktion, dvs. där grafen till en funktion korsar x-axeln. :)

En rot är samma sak som ett nollställe, med andra ord så vill man att du ska visa att $f(x_0)=0, 0<x_0<1$ , alltså att $f(x)$ skär x-axeln inom det givna intervallet.

Det blir enkelt om du gör dom Tomten föreslog ovan eftersom om $f(x_1)>0$ och $f(x_2) <0$ så måste $f(x)$ skära x-axeln eftersom det är omöjligt att gå från ett positivt till negativt y-värze utan att korsa x-axeln.

Om vi inte har en konstig funktion förstås men $f(x)$ är kontinuerlig på hela R så vi behöver inte bry oss om något särfall.

Dracaena skrev:
En rot är samma sak som ett nollställe, med andra ord så vill man att du ska visa att $f(x_0)=0, 0<x_0<1$ , alltså att $f(x)$ skär x-axeln inom det givna intervallet.

OKEJ!! Ett nollställe (trodde att det menades att det existerar en x-värde för varje y-värde... Tack för förklaring)

Det blir enkelt om du gör dom Tomten föreslog ovan eftersom om $f (x_{1}) > 0$ och $f (x_{2}) < 0$ så måste $f (x)$ skära x-axeln eftersom det är omöjligt att gå från ett positivt till negativt y-värze utan att korsa x-axeln.

Nu fattar jag, men finns det ett algebraisk sätt att bevisa detta? Just nu är det rent logisk att den ska göra det.

Ska man typ skriva något liknande eller hur är det bästa sättet att redovisa svar till denna frågan?

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 5 \Rightarrow f (0) = - 5, f (1) = 3$

$x :] 0, 1 [& y :] - 5, 3 [∴ \exists f (x_{0}) = 0$ för $x :] 0, 1 [$

Smutstvätt skrev:
En ekvations rötter är vad nollställen är till en funktion, dvs. där grafen till en funktion korsar x-axeln. :)

Okej, så när f(x) har värde 0, tack så mycket!

Precis! Det är en liten distinktion där, men de är väldigt nära besläktade. En rot till en ekvation är ett värde på en eller flera obekanta som uppfyller det krav ekvationen ställt, medan ett nollställe är ett värde på en graf där en funktion korsar x-axeln. :)

Smutstvätt skrev:
Precis! Det är en liten distinktion där, men de är väldigt nära besläktade. En rot till en ekvation är ett värde på en eller flera obekanta som uppfyller det krav ekvationen ställt, medan ett nollställe är ett värde på en graf där en funktion korsar x-axeln. :)

Ahaaaaa, okej så eftersom vi fick ekvationen $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 5 = 0$ så är roten 0 vid den här fall. Eller jag fortfarande inte förstått det än?

Vilken rot skulla ha följande ekvation då?? $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x = 5$ . Är det vid 5 eller 0 ??

Njae, ekvationen du har fått har inte roten 0. Prova att sätta in 0 i ekvationen så märker du att 0 inte uppfyller ekvationen. :)

Om du har funktionen $f(x)=x^3+3x^2+4x-5$ , vad blir f(0)? Vad blir f(1)? :)

Smutstvätt skrev:
Njae, ekvationen du har fått har inte roten 0. Prova att sätta in 0 i ekvationen så märker du att 0 inte uppfyller ekvationen. :)

Om du har funktionen $f(x)=x^3+3x^2+4x-5$ , vad blir f(0)? Vad blir f(1)? :)

Jaså... hmmm vi får f(0)=-5 och f(1)=3

Mycket riktigt! Nu kan vi använda satsen om mellanliggande värden, och dra slutsatsen att det måste finnas minst ett nollställe mellan 0 och 1. Om vi sedan visar att funktionen inte har någon extrempunkt i intervallet, kan vi dra slutsatsen att det endast finns ett nollställe i intervallet. :)

"Det blir enkelt om du gör dom Tomten föreslog ovan eftersom om f(x1)>0 f(x1)>0 och f(x2)<0 f(x2)<0 så måste f(x)f(x) skära x-axeln eftersom det är omöjligt att gå från ett positivt till negativt y-värze utan att korsa x-axeln.
Nu fattar jag, men finns det ett algebraisk sätt att bevisa detta?"

Nej. Det efterfrågade beviset hör hemma i topologin inte i algebran. Topologin omfattar begrepp som kontinuerlig, öppna och slutna mängder liksom begreppet sammanhängande. Du kan googla på de här begreppen och om intresse väcks kan du ställa frågan i en ny tråd. (Om man inte låter sig inte skrämmas av abstraktionsnivån, så är beviset faktiskt inte jättesvårt.)

Smutstvätt skrev:
Mycket riktigt! Nu kan vi använda satsen om mellanliggande värden, och dra slutsatsen att det måste finnas minst ett nollställe mellan 0 och 1. Om vi sedan visar att funktionen inte har någon extrempunkt i intervallet, kan vi dra slutsatsen att det endast finns ett nollställe i intervallet. :)

Okej, allt börjar hänga ihop nu (förhoppningsvis...)! Så vad jag har gjort än så länge är att visa att f(0)=-5 och f(1)=3, men jag måste nu bevisa att linjen mellan ]-5,3[ är kontinuerligt och dessutom att den inte har extrempunkter, och då och bara då kommer vi bevisa att den har endast en rot vid $f (x_{0}) = 0$ , right?

Tomten skrev:
"Det blir enkelt om du gör dom Tomten föreslog ovan eftersom om f(x1)>0 f(x1)>0 och f(x2)<0 f(x2)<0 så måste f(x)f(x) skära x-axeln eftersom det är omöjligt att gå från ett positivt till negativt y-värze utan att korsa x-axeln.
Nu fattar jag, men finns det ett algebraisk sätt att bevisa detta?"

Nej. Det efterfrågade beviset hör hemma i topologin inte i algebran. Topologin omfattar begrepp som kontinuerlig, öppna och slutna mängder liksom begreppet sammanhängande. Du kan googla på de här begreppen och om intresse väcks kan du ställa frågan i en ny tråd. (Om man inte låter sig inte skrämmas av abstraktionsnivån, så är beviset faktiskt inte jättesvårt.)

Åh! Okej, hur skulle man kunna redovisa svaret på ett topologisk sätt?

Det verkar inte ingå i uppgiften att visa att det bara finns en rot. Men om man vill visa det så får man betrakta derivatan. Extrempunkter kan få finnas, och gör det det så blir det lite svårare.

Laguna skrev:
Det verkar inte ingå i uppgiften att visa att det bara finns en rot. Men om man vill visa det så får man betrakta derivatan. Extrempunkter kan få finnas, och gör det det så blir det lite svårare.

Just det, hahah, jag råkade blanda ihop den med en annan uppgift där denna krav ingår... (I beg a pardon for the mistake).

Så om jag deriverar funktionen kommer jag att bevisa att den har endast en rot? Skulle ni kunna förklara mer om denna proceduren? (Låt oss säga att vid den här fallet så finns det inte extrempunkter).

I det här fallet är det enkelt att bevisa att det bara finns en rot!

Funktionen $f(x)=x^3+3x^2+4x-5$ är nämligen strängt växande på intervallet $(0,1)$ , så när den väl har passerat funktionsvärdet noll så kommer den bara bli mer och mer positiv!

Hur ser vi att den är strängt växande? Ett sätt att se det är att derivera. Vi får $f'(x)=3x^2+6x+4$ , och eftersom varje term är positiv för $x>0$ (och speciellt för alla $x\in(0,1)$ ) så följer det omedelbart att $f'(x)>0$ för alla $x\in(0,1)$ , och positiv derivata implicerar ju strängt växande funktion.