Analys i en Variabel - Gränsvärde/Derivator

Det finns två problem här:

1. h ska gå mot noll, inte x. 

2. (din fråga) Vi vill förlänga med täljarens konjugat. Det är $\sqrt{x_0+h}\mathbf{+}\sqrt{x_0}$, inte $\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}$ som lösningen säger. Rätta till detta, och förenkla sedan på samma sätt som lösningen gör. Vad får du? :)

Smutstvätt skrev:

Det finns två problem här:

1. h ska gå mot noll, inte x. 

2. (din fråga) Vi vill förlänga med täljarens konjugat. Det är $\sqrt{x_0+h}\mathbf{+}\sqrt{x_0}$, inte $\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}$ som lösningen säger. Rätta till detta, och förenkla sedan på samma sätt som lösningen gör. Vad får du? :)

ÅHHHHH... Damnit! My damn eyes... Nu ser jag det! Skulle inte ha märkt det om det inte pekades ut... Tusen tack!

Bryan skrev:

Jag började precis med Derivator, kan någon förklara vad som hände här, fattar inte riktigt:

 

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$    $(x_0,y_0) = (4,2)$

Bestäm gränsvärdet:

 

$\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)}}{h}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{(\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)})(\sqrt{(x_0+h)}+\sqrt{\left(x_0\right)})}{(\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)})\times h}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{(x_0+h)-\left(x_0\right)}{(\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)})\times h}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{h}{(\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)})\times h}=\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)}}$

och nu kommer det sista steget, vilket jag inte förstår varför det blir så...

$\underset{x\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

 

Hur blev detta 2 gånger ruten ur $x_0$??

Ska rätta till den här nedan: 

$\underset{h\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)}}{h}=\underset{h\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{(\sqrt{(x_0+h)}-\sqrt{\left(x_0\right)})(\sqrt{(x_0+h)}+\sqrt{\left(x_0\right)})}{(\sqrt{(x_0+h)}+\sqrt{\left(x_0\right)})\times h}=\underset{h\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{(x_0+h)-\left(x_0\right)}{\left(\sqrt{(x_0+h)}h\sqrt{\left(x_0\right)}\right)\times h}=\underset{h\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{h}{(\sqrt{(x_0+h)}+\sqrt{\left(x_0\right)})\times h}=\underset{h\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\sqrt{(x_0+h)}+\sqrt{\left(x_0\right)}}$

Och får nu då

$\frac{1}{\sqrt{(x_0+0)}+\sqrt{\left(x_0\right)}}=\frac{1}{\sqrt{\left(x_0\right)}+\sqrt{\left(x_0\right)}}=\frac{1}{2\sqrt{\left(x_0\right)}}\therefore \underset{h\to 0}{\overset{lim}{\to }}\frac{1}{\sqrt{(x_0+h)}+\sqrt{\left(x_0\right)}}=\frac{1}{2\sqrt{\left(x_0\right)}}$